(2.33)
где, как и раньше, использовано обозначение (2.23).
Мы видим, что выражение (2.33) для функции 𝑆(τ) не сильно отличается от выражения (2.24), полученного предыдущим методом.
3. Применение квадратурных формул.
Изложенные выше приближённые методы нашли довольно широкое применение в астрофизике. Однако точность результатов, получаемых этими методами, сравнительно невелика. Поэтому получил распространение другой приближённый метод, основанный на замене интегрального члена уравнения лучистого равновесия суммой Гаусса для численных квадратур. Уравнение переноса излучения пишется при этом для тех значений cosθ, которые являются точками деления интервала в квадратурной формуле. Это позволяет свести задачу к системе линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Преимущество этого метода состоит в том, что можно повышать точность результатов, увеличивая число членов квадратурной формулы. Однако и при небольшом числе членов этой формулы получаются удовлетворительные результаты благодаря высокой точности замены интеграла суммой Гаусса.
Указанный метод был подробно разработан Чандрасекаром [4]. Мы сейчас применим этот метод к решению системы уравнений (2.9).
Предварительно перепишем эту систему в виде одного уравнения:
μ
𝑑𝐼(τ,μ)
𝑑τ
=
𝐼(τ,μ)
-
1
2
+1
∫
-1
𝐼(τ,μ')
𝑑μ'
,
(2.34)
где обозначено μ=cosθ.
Представим интегральный член уравнения (2.34) в виде суммы согласно квадратурной формуле Гаусса:
+1
∫
-1
𝐼(τ,μ)
𝑑μ
=
𝑛
∑
𝑗=-𝑛
𝑎
𝑗
𝐼(τ,μ
𝑗
)
.
(2.35)
Здесь μ-𝑛,…,μ-1,μ1,…μ𝑛 суть корни полинома Лежандра 𝑃2𝑛(μ) и 𝑎𝑗 — некоторые весовые множители (𝑎-𝑗=𝑎𝑗). Представление (2.35) тем точнее, чем больше 𝑛
В 𝑛-м приближении уравнение (2.34) заменяется системой линейных дифференциальных уравнений порядка 2𝑛:
μ
𝑖
𝑑𝐼𝑖
𝑑τ
=
𝐼
𝑖
-
1
2
∑
𝑗
𝑎
𝑗
𝐼
𝑗
(𝑖
=
±1,
±2,
…,
±𝑛
),
(2.36)
где для краткости 𝐼(τ,μ) обозначено через 𝐼𝑖.
Произвольные постоянные, входящие в общее решение этой системы, определяются из следующих условий: 1) отсутствует излучение, падающее на фотосферу извне, т.е. 𝐼-𝑖=0 при τ=0 (𝑖=1,2, ,𝑛); 2) не может быть членов, экспоненциально возрастающих с τ, 3) задан поток излучения 𝐻=π𝐹.
После нахождения величин 𝐼𝑖 из уравнений (2.36) основная искомая функция 𝑆(τ) определяется по формуле
𝑆(τ)
=
1
2
∑
𝑎
𝑗
𝐼
𝑗
.
(2.37)
Найдём в виде примера функцию 𝑆(τ) в первом приближении. В данном случае μ1=-μ-1=1/√3, 𝑎1=𝑎-1=1. Поэтому вместо (2.36) получаем
1
√3
𝑑𝐼1
𝑑τ
=
𝐼
1
-
1
2
(
𝐼
1
+
𝐼
-1
),
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
-
1
√3
𝑑𝐼-1
𝑑τ
=
𝐼
-1
-
1
2
(
𝐼
1
+
𝐼
-1
).
(2.38)
Система уравнений (2.38) должна быть решена при условиях, что 𝐼-1=0 при τ=0 и
2
√3
(
𝐼
1
+
𝐼
-1
)=
𝐹
.
(2.39)
Находя 𝐼1 и 𝐼-1 из (2.38) при указанных условиях, для искомой функции 𝑆(τ) получаем
𝑆(τ)
=
3
4
𝐹
⎛
⎜
⎝
τ
+
1
3
⎞
⎟
⎠
.
(2.40)
Как мы увидим дальше, выражение (2.40) для функции 𝑆(τ) оказывается более точным, чем полученные ранее выражения (2.24) и (2.33). Увеличив число членов в квадратурной формуле (2.35), можно получить ещё более точные выражения для 𝑆(τ).
4. Интегральное уравнение Милна.
Из системы уравнений (2.9) можно получить одно интегральное уравнение для определения функции 𝑆(τ). Для этого надо решить первое из уравнений (2.9) относительно 𝐼(τ,θ) и подставить найденное выражение 𝐼(τ,θ) через 𝑆(τ) во второе из этих уравнений. Такой путь решения задачи представляется наиболее естественным, так как мы получаем одно уравнение для определения функции, зависящей только от одного аргумента.
Общее решение первого из уравнений (2.9) имеет вид
𝐼(τ,θ)
=
𝐼(τ
∗
,θ)
𝑒
-(τ∗-τ)secθ
+
+
τ∗
∫
τ
𝑒
-(τ'-τ)secθ
𝑆(τ')
secθ
𝑑τ'
.
(2.41)
Оно представляет собой уравнение переноса излучения в интегральной форме [сравните с уравнением (1.14)].
Уравнение (2.41) следует рассматривать отдельно для двух случаев: для излучения, идущего снизу вверх, и для излучения, идущего сверху вниз.
В первом случае, полагая τ∗=∞ и считая, что интенсивность излучения не возрастает экспоненциально с ростом τ, получаем
𝐼(τ,θ)
=
∞
∫
τ
𝑒
-(τ'-τ)secθ
𝑆(τ')
secθ
𝑑τ'
⎛
⎜
⎝
θ
<
π
2
⎞
⎟
⎠
.
(2.42)
Во втором случае, полагая τ∗=0 и принимая во внимание граничное условие (2.10), находим
𝐼(τ,θ)
=-
τ
∫
0
𝑒
-(τ'-τ)secθ
𝑆(τ')
secθ
𝑑τ'
⎛
⎜
⎝
θ
>
π
2
⎞
⎟
⎠
.
(2.43)
Теперь мы должны подставить выражения (2.42) и (2.43) во второе из уравнений (2.9). Делая эту подстановку и меняя порядок интегрирования, имеем
𝑆(τ)
=
1
2
∞
∫
τ
𝑆(τ')
𝑑τ'
×
×
π/2
∫
0
𝑒
-(τ'-τ)secθ
𝑆(τ')
secθ
sinθ
𝑑θ
-
