В планетарных туманностях, как мы знаем, 𝑊≈10⁻¹⁴, а ниже будет показано, что 𝑛𝑒≈10⁴ см⁻³. В этом случае формула (23.14) даёт, что для водорода степень ионизации будет больше единицы при 𝑇∗>20 000 K. В том же случае для гелия 𝑛⁺/𝑛₁>1 при 𝑇∗>33 000 K.
3. Ионизация в туманности большой оптической толщины.
Формула (23.14) справедлива лишь тогда, когда оптическая толщина туманности за границей основной серии данного атома меньше единицы. В противном случае необходимо учитывать поглощение излучения звезды, а также наличие диффузного излучения туманности, происходящего от рекомбинаций на первый уровень.
Поглощение излучения звезды на пути до данного места туманности может быть учтено путём введения в правую часть формулы (23.14) множителя 𝑒-τ, где τ — оптическое расстояние от звезды за границей основной серии, соответствующее некоторому среднему коэффициенту поглощения. Что же касается учёта ионизаций под действием диффузного излучения туманности, то его можно приближённо выполнить, отбрасывая в правой части формулы (23.10) член, соответствующий рекомбинациям на первый уровень (так как в туманности большой оптической толщины рекомбинации на первый уровень компенсируются ионизациями при поглощении диффузного излучения). Легко видеть, что в таком случае в правую часть формулы (23.14) вместо множителя 𝑝 должен входить множитель 𝑝/(1-𝑝). Для атома водорода доля захватов на первый уровень близка к половине, вследствие чего множитель 𝑝/(1-𝑝) близок к единице. Мы будем считать, что этот множитель примерно равен единице и для других атомов. Принимая во внимание все сказанное, можно переписать формулу (23.14) в следующем виде:
𝑛
𝑒
𝑛⁺
𝑛₁
=
𝑔⁺
𝑔₁
𝑊
⎛
⎜
⎝
𝑇𝑒
𝑇∗
⎞½
⎟
⎠
2(2π𝑚𝑘𝑇∗)³/²
ℎ³
×
×
exp
⎧
⎪
⎩
-
ℎν₁
𝑘𝑇∗
⎫
⎪
⎭
⋅
𝑒
-τ
.
(23.15)
Представляет интерес вопрос, как меняется степень ионизации 𝑛⁺/𝑛₁, с изменением расстояния 𝑟 от звезды? Чтобы упростить рассмотрение этого вопроса, мы возьмём планетарную туманность, толщина которой мала по сравнению с её радиусом. В гаком случае коэффициент дилюции в туманности можно считать постоянным (𝑊=const). Кроме того, примем, что концентрация атомов в туманности также постоянна (𝑛=const).
Наш расчёт будет относиться к водороду. Однако результаты в принципе будут справедливы для всех атомов, которые производят сильное поглощение за границами своих основных серий в туманностях.
Обозначим через 𝑥 долю ионизованных атомов, т.е. положим
𝑛⁺
=
𝑥𝑛
,
𝑛₁
=
(1-𝑥)𝑛
,
𝑛
𝑒
=
𝑥𝑛
.
(23.16)
Тогда вместо формулы (23.15); получаем
𝑥²
1-𝑥
=
𝑔⁺
𝑔₁
𝑊
𝑛
⎛
⎜
⎝
𝑇𝑒
𝑇∗
⎞½
⎟
⎠
2(2π𝑚𝑘𝑇∗)³/²
ℎ³
×
×
exp
⎧
⎪
⎩
-
ℎν₁
𝑘𝑇∗
⎫
⎪
⎭
⋅
𝑒
-τ
.
(23.17)
Входящее в эту формулу оптическое расстояние τ равно
τ
=
𝑛𝑘
𝑟
∫
𝑟₁
(1-𝑥)
𝑑𝑟
,
(23.18)
где 𝑘 — средний коэффициент поглощения и 𝑟₁ — радиус внутренней границы туманности.
Из соотношений (23.17) и (23.18) легко получить дифференциальное уравнение, связывающее величины 𝑥 и 𝑟. Логарифмируя, а затем дифференцируя соотношение (23.17), находим
⎛
⎜
⎝
2
𝑥
+
1
1-𝑥
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
=-
𝑑τ
.
(23.19)
При помощи (23.18) отсюда имеем
⎛
⎜
⎝
2
𝑥
+
1
1-𝑥
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
1-𝑥
=-
𝑛𝑘
𝑑𝑟
.
(23.20)
Интегрирование уравнения (23.20) даёт
2 ln
𝑥₀
1-𝑥₀
1-𝑥
𝑥
+
1
1-𝑥₀
-
1
1-𝑥
=
𝑛𝑘
(𝑟-𝑟₁)
,
(23.21)
где 𝑥₀ — значение величины 𝑥 при τ=0.
Таблица 28
Доля ионизованных атомов 𝑥
в зависимости от 𝑟 и τ
𝑥
𝑛𝑘(𝑟-𝑟₁)
τ
0,999
0
0
0,997
669
1,1
0,990
907
2,3
0,970
963
3,5
0,900
999
4,7
0,700
1009
6,4
0,500
1012
7,6
В таблице 28 в виде примера приведены значения величины 𝑛𝑘(𝑟-𝑟₁), вычисленные по формуле (23.21) для разных значений 𝑥. При этом принято, что 1-𝑥₀=0,001. Там же даны значения величины τ, найденные по формуле
τ
=
ln
⎛
⎜
⎝
𝑥₀
𝑥
⎞²
⎟
⎠
1-𝑥
1-𝑥₀
,
(23.22)
вытекающей из (23.17).
Из приведённых формул и из таблицы видно, что величина 𝑥 остаётся близкой к единице до значения 𝑟, определяемого формулой
𝑛𝑘(𝑟-𝑟₁)
≈
1
1-𝑥₀
,
(23.23)
после чего резко убывает на сравнительно небольшом интервале изменения 𝑟. Значения 𝑟, даваемые формулой (23.23), соответствуют значениям τ порядка нескольких единиц.
Полученный результат вполне понятен из физических соображений. Когда оптическое расстояние τ становится порядка единицы, происходит уменьшение степени ионизации, т.е. возрастание числа нейтральных атомов. В свою очередь рост числа нейтральных атомов ведёт к увеличению оптического расстояния τ.
Таким образом, туманность может быть разделена на две области: внутреннюю, в которой степень ионизации велика (𝑛⁺/𝑛₁≫1) и внешнюю, в которой степень ионизации мала (𝑛⁺/𝑛₁≪1), с весьма резкой границей между ними. Первая область светится в линиях данного атома, возникающих в результате фотоионизаций и рекомбинаций, вторая в них не светится. В случае атома водорода первая из этих областей называется обычно зоной 𝙷 II, вторая — зоной 𝙷 I (рис. 31).
