𝑑ν
ℎν
,
(10.54)
где ν₂₃ — частота ионизации из второго состояния, 𝑘2ν — коэффициент поглощения за границей второй серии.
Для грубой оценки величины γ можно поступить так. Будем считать, что величина 𝐵₂₃ρ₂₃ действительно является произведением плотности излучения непосредственно за границей второй серии ρ₂₃ на эйнштейновский коэффициент перехода [определённый в согласии с формулой (10.54)]. Тогда, представляя ρ₂₃ и 𝐴₂₁ в виде
ρ₂₃
=
σ₂₃
,
exp
⎛
⎜
⎝
ℎν₂₃
⎞
⎟
⎠
-1
𝑘𝑇
(10.55)
𝐴₂₁
=
𝑔₁
𝑔₂
σ₁₂
𝐵₁₂
(10.56)
где
σ
𝑖𝑘
=
8πℎν𝑖³𝑘
𝑐³
,
(10.57)
и принимая приближённо 𝑔₂≈𝑔₁, σ₁₂≈σ₂₃, 𝐵₁₂≈𝐵₂₃, получаем
γ
≈
exp
⎛
⎜
⎝
-
ℎν₂₃
𝑘𝑇
⎞
⎟
⎠
.
(10.58)
Оценка величины γ по формуле (10.58) для атомов с потенциалом ионизации из возбуждённого состояния около 3 эВ (например, для Na I и Са I) при температуре Солнца даёт γ≈10⁻³. Вычисления по формулам (10.53) и (10.54) приводят к значениям такого же порядка (γ=0,0015 для линий D₁ и D₂ натрия и γ=0,0004 для линии λ 4227 Са I).
Формулу (10.52) для 𝑟ν и сделанные оценки величины γ мы используем ниже (в § 11) при обсуждении вопроса о центральных интенсивностях линий поглощения.
4. Точное решение задачи.
Рассматриваемую нами задачу об определении профилей линий поглощения в звёздных спектрах при сделанных выше предположениях можно решить точно. Для получения такого решения мы применим способ, изложенный в § 3.
Уравнение переноса излучения мы возьмём в форме (10.21), а коэффициент излучения εν зададим уравнением (10.43), т.е. примем во внимание флуоресценцию. Указанные уравнения можно переписать в виде
cos θ
𝑑𝐼ν
𝑑𝑡ν
=
𝐼
ν
-
𝑆
ν
,
(10.59)
где 𝑑𝑡ν=-(σν+αν) 𝑑𝑟 и
𝑆
ν
=
(1-γ)
ην
1+ην
∫
𝐼
ν
𝑑ω
4π
+
1+𝑄γην
1+ην
𝐵
ν
(𝑇)
.
(10.60)
Функцию 𝐵ν(𝑇), как и выше, представим формулой (9.15). Переходя в ней от τν к 𝑡ν, имеем
𝐵
ν
(𝑇)
=
𝐵
ν
(𝑇₀)
⎛
⎜
⎝
1+
βν⃰
1+ην
⎞
⎟
⎠
(10.61)
где
β
ν
⃰
=
β
ν
α
αν
.
Решая уравнение (10.59) относительно 𝐼ν и подставляя найденное выражение 𝐼ν через 𝑆ν в уравнение (10.60) (т.е. поступая так же, как в § 2 при получении уравнения Милна), мы приходим к следующему интегральному уравнению для определения функции 𝑆ν(𝑡ν):
𝑆
ν
(𝑡
ν
)
=
λν
2
∞
∫
0
𝐸₁|𝑡
ν
-𝑡
ν
'|
𝑆
ν
(𝑡
ν
')
𝑑𝑡
ν
'
+
+
1+𝑄γην
1+ην
𝐵
ν
(𝑇)
,
(10.62)
где обозначено
λ
ν
=
(1-γ)
ην
1+ην
.
(10.63)
Перепишем уравнение (10.62) в виде
𝑆(𝑡)
=
λ
2
∞
∫
0
𝐸₁|𝑡-𝑡'|
𝑆(𝑡')
𝑑𝑡'
+
𝑔(𝑡)
,
(10.64)
опуская для простоты на время индекс ν. Свободный член этого уравнения является линейной функцией от 𝑡 т.е.
𝑔(𝑡)
=
𝑐₀
+
𝑐₁𝑡
.
(10.65)
Мы видим, что уравнение (10.64) принадлежит к типу уравнений, подробно рассмотренных в § 3. Если в уравнении (3.1) положить
𝐾(𝑡)
=
λ
2
𝐸₁𝑡
=
λ
2
∞
∫
1
𝑒
-𝑡𝑥
𝑑𝑥
𝑥
,
(10.66)
то мы получим уравнение (10.64). При представлении ядра 𝐾(𝑡) в форме (3.17) имеем 𝐴(𝑥)=λ/2𝑥.
Согласно способу, изложенному в § 3, решение уравнения (10.64) надо начинать с нахождения функции 𝑆(0,𝑥) определённой уравнением (3.20). В данном случае, полагая 𝑥=1/μ и 𝑆(0,𝑥)=φ(μ), вместо (3.20) имеем
φ(μ)
=
1+
λ
2
φ(μ)μ
1
∫
0
φ(μ')
μ+μ'
𝑑μ'
.
(10.67)
При λ=1 из (10.67) получается ранее рассмотренное уравнение (3.53).
Функция φ(μ), впервые введённая В. А. Амбарцумяном, была затем подробно изучена рядом авторов. В табл. 11 приведены значения этой функции, а в табл. 12 — значения её моментов [т.е. величин, определённых формулой (3.59)].
Таблица 11
Значения функции φ(μ)
μ
λ
0
0,4
0,6
0,8
0,85
0,90
0,925
0,95
0,975
1
0
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
0,1
1,00
1,06
1,09
1,14
1,15
1,17
1,18
1,20
1,21
1,25
0,2
1,00
1,09
1,15
1,23
1,26
1,29
1,31
1,34
1,37
1,45
0,3
1,00
1,11
1,19
1,30
1,34
1,39
1,42
1,46
1,51
1,64
0,4
1,00
1,13
1,22
1,36
1,41
1,48
1,52
1,57
1,64
1,83
0,5
1,00
1,14
