𝐻
ν
=
2π
∞
∫
0
𝐵
ν
(𝑇)
𝐸₂
𝑡
ν
𝑑𝑡
ν
,
(9.12)
где 𝐸₂𝑡ν — вторая интегральная показательная функция. Аналогичной формулой (с заменой 𝑡ν на τν) определяется и величина 𝐻ν⁰ (см. §4).
Рис. 11
Если известна величина 𝑟ν, то легко может быть найдена и так называемая эквивалентная ширина линии поглощения. Под ней понимается ширина соседнего участка непрерывного спектра, энергия которого равна энергии, поглощённой в линии (рис. 11). Обозначая эквивалентную ширину линии через 𝑊, на основании определения имеем
𝐻
ν
⁰
𝑊
=
∫
(
𝐻
ν
⁰
-
𝐻
ν
)
𝑑ν
,
(9.13)
или, при использовании (9.11),
𝑊
=
∫
(1-𝑟
ν
)
𝑑ν
.
(9.14)
Приведёнными формулами, определяющими профили и эквивалентные ширины линий, мы будем часто пользоваться ниже.
2. Определение профилей линий.
Для вычисления профилей линий поглощения мы должны знать зависимость между температурой 𝑇 и оптической глубиной 𝑡ν. Точная зависимость между этими величинами может быть найдена только на основе расчёта моделей звёздных фотосфер. Однако некоторый интерес представляет и приближённая зависимость между 𝑇 и 𝑡ν, которой мы сейчас воспользуемся.
Из формул (6.1) и (6.5) вытекает следующая приближённая формула, связывающая между собой температуру 𝑇 и оптическую глубину τν в непрерывном спектре:
𝐵
ν
(𝑇)
=
𝐵
ν
(𝑇₀)
⎛
⎜
⎝
1
+
β
ν
α
αν
τ
ν
⎞
⎟
⎠
.
(9.15)
При получении этой формулы предполагалось, что отношение коэффициента поглощения в непрерывном спектре αν к среднему коэффициенту поглощения α не зависит от глубины. Теперь мы допустим, что и отношение коэффициента поглощения в линии к коэффициенту поглощения в непрерывном спектре, т.е. величина σν/αν, также не зависит от глубины. Тогда на основании формул (9.5) и (9.9) имеем
𝑡
ν
=
⎛
⎜
⎝
σν
αν
+
1
⎞
⎟
⎠
τ
ν
.
(9.16)
Подстановка (9.16) в (9.15) даёт
𝐵
ν
(𝑇)
=
𝐵
ν
(𝑇₀)
⎛
⎜
⎝
1
+
β
ν
α
σν+αν
τ
ν
⎞
⎟
⎠
.
(9.17)
Для нахождения величины 𝑟ν(θ), определённой формулой (9.10), мы должны подставить (9.17) в (9.7) и (9.15) в (9.8). Делая это, получаем
𝑟
ν
(θ)
=
1 + βν
α
σν+αν cos θ
1 + βν
α
σν cos θ
.
(9.18)
Формулой (9.18) определяется профиль линии на угловом расстоянии θ от центра диска. Аналогично получается выражение для величины 𝑟ν, характеризующей профиль линии в спектре всей звезды:
𝑟
ν
=
1 +
2
3 βν
α
σν+αν
1 +
2
3 βν
α
αν
.
(9.19)
Очевидно, что в случае локального термодинамического равновесия линия поглощения возникает вследствие роста температуры с глубиной. Так как коэффициент поглощения в линии больше коэффициента поглощения в непрерывном спектре, то излучение в линии доходит до нас из менее глубоких слоёв, где температура ниже. Поэтому интенсивность излучения в линии и оказывается меньше интенсивности излучения в непрерывном спектре. Если бы температура в атмосфере была постоянной, то в формулах (9.18) и (9.19) мы имели бы βν=0, а значит 𝑟ν(θ)=1 и 𝑟ν=1, т.е. линий поглощения не было бы.
Следует иметь в виду, что приближённые формулы (9.18) и (9.19) могут в некоторых случаях обладать очень малой точностью, так как величины σν/αν и αν/α, которые мы считали постоянными, могут в реальных атмосферах сильно меняться с глубиной.
Как уже сказано, для получения точных профилей линий необходимы предварительные расчёты моделей звёздных фотосфер. Эти расчёты дают распределение температуры и плотности в поверхностных слоях звезды, в которых возникают линии поглощения. Пользуясь такими данными, можно вычислить коэффициенты поглощения σν и αν на разных глубинах, а значит, и оптические глубины 𝑡ν и τν в виде функций от геометрической глубины.
В качестве примера построения моделей звёздных фотосфер и последующего вычисления непрерывных и линейчатых спектров звёзд можно указать большую работу де Ягера и Невена. Названные авторы построили 50 моделей фотосфер с поверхностными температурами 𝑇₀ от 4 000 до 25 000𝙺 и с значениями lg 𝑔 от 1 до 5. Для каждой модели было найдено распределение энергии в непрерывном спектре и определены профили и эквивалентные ширины многих линий (водорода, гелия, углерода, азота и других атомов). Часть результатов, относящихся к линии 𝙷γ, приведена в табл. 10. Эта таблица, составленная для случая 𝑇₀= 14 000𝙺, содержит значения величины 𝑟ν на разных расстояниях от центра линии (выраженных в ангстремах) и при различных значениях lg 𝑔. В последнем столбце таблицы даны значения эквивалентной ширины 𝑊 в ангстремах.
Таблица 10
Величины 𝑟ν и 𝑊 для линии 𝙷γ
при разных ускорениях силы тяжести
в атмосфере звезды
lg 𝑔
Δ
λ
0
0,5
1
2
4
8
16
32
𝑊
1
0,70
0,74
0,92
0,97
1,00
0,60
2
0,72
0,76
0,84
0,92
0,99
1,00
0,90
3
0,74
0,78
0,81
0,86
0,91
0,96
1,00
2,05
4
0,75
0,76
0,77
0,80
0,86
0,93
0,98
1,00
3,50
5
0,78
0,79
0,81
0,83
0,86
0,90
0,95
1,00
4,20
