(8.48)
где множитель перед квадратными скобками — коэффициент поглощения, обусловленный протонами, а второе слагаемое в скобках учитывает влияние электронов. Значения величины 𝑅(𝑛𝑒,𝑇), для трёх бальмеровских линий при разных значениях электронной концентрации 𝑛𝑒 и температуры 𝑇 приведены в табл. 9 (считается, что λ-λ₀ выражено в ангстремах).
Таблица 9
Значения величины 𝑅(𝑛𝑒,𝑇)
lg 𝑛
𝑒
𝑇
𝐻
α
𝐻
β
𝐻
γ
10⁴
2⋅10⁴
4⋅10⁴
10⁴
2⋅10⁴
4⋅10⁴
10⁴
2⋅10⁴
4⋅10⁴
10
1,05
0,79
0,59
1,05
0,80
0,60
1,37
1,04
0,78
12
0,82
0,63
0,48
0,81
0,62
0,48
1,03
0,80
0,62
14
0,59
0,46
0,36
0,56
0,45
0,35
0,70
0,56
0,45
15
0,47
0,38
0,30
0,45
0,35
0,28
0,53
0,44
0,35
16
0,35
0,30
0,25
0,33
0,26
0,22
0,37
0,31
0,26
17
0,24
0,22
0,19
0,21
0,17
0,15
0,21
0,19
0,17
18
0,12
0,14
0,13
0,09
0,09
0,08
0,09
0,09
0,09
Многие формулы для коэффициента поглощения в спектральной линии, употребляемые в астрофизике, содержатся в справочнике К. Ленга [4].
§ 9. Линии поглощения при локальном термодинамическом равновесии
1. Основные формулы.
После определения коэффициента поглощения в спектральной линии перейдем к вопросу об образовании линий поглощения в спектре звезды. Мы будем рассматривать линию, возникающую при переходе из 𝑖-го состояния в 𝑘-е данного атома. Коэффициент поглощения в линии, как и раньше, обозначим через σν, а коэффициент излучения — через εν. Эти величины зависят от индексов 𝑖 и 𝑘, но для упрощения записи мы их не пишем. Коэффициенты поглощения и излучения в непрерывном спектре обозначим соответственно через αν и εν⁰. Эти величины обусловлены всеми атомами, находящимися в данном элементарном объёме. В пределах линии коэффициенты αν и εν⁰ очень слабо зависят от частоты.
Принимая, что атмосфера состоит из плоскопараллельных слоёв, получаем следующее уравнение переноса излучения в спектральной линии:
cosθ
𝑑𝐼ν
𝑑𝑟
=-
(σ
ν
+α
ν
)
𝐼
ν
+
ε
ν
+
ε
ν
⁰
.
(9.1)
Здесь, как и раньше, θ — угол между направлением излучения и внешней нормалью к атмосферным слоям, а интенсивность излучения 𝐼ν зависит от 𝑟 и θ.
При рассмотрении непрерывного спектра звёзд мы сделали предположение о локальном термодинамическом равновесии. В таком случае имеем
ε
ν
⁰
=
α
ν
𝐵
ν
(𝑇)
,
(9.2)
где 𝐵ν(𝑇) — планковская интенсивность излучения для частот данной линии.
Аналогичное предположение мы сделаем сначала и при рассмотрении образования спектральных линий, т.е. будем считать
ε
ν
=
σ
ν
𝐵
ν
(𝑇)
.
(9.3)
Очевидно, что применимость соотношения (9.3) нуждается в большем обосновании, чем применимость соотношения (9.2), так как линии возникают в среднем в более поверхностных слоях звёзд, чем непрерывный спектр.
При помощи (9.2) и (9.3) вместо уравнения (9.1) находим
cosθ
𝑑𝐼ν
𝑑𝑟
=-
(σ
ν
+α
ν
)
(𝐼
ν
-𝐵
ν
)
.
(9.4)
Пусть 𝑡ν — оптическая глубина в атмосфере в частоте ν внутри линии, т.е.
𝑡
ν
=
∞
∫
0
(σ
ν
+α
ν
)
𝑑𝑟
.
(9.5)
Тогда уравнение (9.4) принимает вид
cosθ
𝑑𝐼ν(𝑡ν,θ)
𝑑𝑡ν
=
𝐼
ν
(𝑡
ν
,θ)
-
𝐵
ν
(𝑇)
.
(9.6)
Наибольший интерес для нас представляет интенсивность излучения в линии, выходящего из атмосферы. Для этой величины из уравнения (9.6) получаем
𝐼
ν
(0,θ)
=
∞
∫
0
𝐵
ν
(𝑇)
exp
⎛
⎝
-𝑡
ν
sec θ
⎞
⎠
sec θ
𝑑𝑡
ν
.
(9.7)
Интенсивность излучения, выходящего из атмосферы в непрерывном спектре вблизи линии, мы обозначим через 𝐼ν⁰(0,θ). Эта величина равна
𝐼
ν
⁰(0,θ)
=
∞
∫
0
𝐵
ν
(𝑇)
exp
⎛
⎝
-τ
ν
sec θ
⎞
⎠
sec θ
𝑑τ
ν
,
(9.8)
где τν — оптическая глубина в атмосфере в непрерывном спектре вблизи линии, т.е.
τ
ν
=
∞
∫
𝑟
α
ν
𝑑𝑟
.
(9.9)
Отношение
𝑟
ν
(θ)
=
𝐼ν(0,θ)
𝐼ν⁰(0,θ)
(9.10)
характеризует профиль линии поглощения на угловом расстоянии θ от центра диска звезды. Очевидно, что величина 𝑟ν(θ) может быть найдена из наблюдений только для Солнца (и в принципе — для затменных переменных). Для обычных же звёзд из наблюдений определяется лишь профиль линии поглощения в спектре всего диска. Этот профиль характеризуется отношением
𝑟
ν
=
𝐻ν
𝐻ν⁰
,
(9.11)
где 𝐻ν — поток излучения, выходящего из звезды в частоте ν внутри линии, и 𝐻ν⁰ — поток излучения, выходящего из звезды в непрерывном спектре вблизи линии. Величина 𝐻ν определяется формулой
