При вычислении профиля линии 𝙷γ было взято выражение для коэффициента поглощения, учитывающее эффект Штарка. Как известно, этот эффект действует тем сильнее, чем больше плотность, а плотность в атмосфере тем больше, чем больше ускорение силы тяжести. Этим объясняется тот факт, что эквивалентная ширина линии 𝑊 растёт с увеличением 𝑔.
3. Слабые линии и крылья сильных линий.
Приведённые выше формулы, определяющие профили линий поглощения, сильно упрощаются в случае слабых линий, т.е. таких, для которых σν≪αν. Очевидно, что это неравенство справедливо и для внешних частей сильных линий (которые называются обычно крыльями линий). Поэтому упрощение формулы для 𝑟ν будет относиться и к ним.
Рассмотрим какую-либо линию в спектре всей звезды. При выполнении условия σν≪αν формула (9.19) может быть переписана в виде
1-𝑟
ν
=
β
ν
σ
ν
.
3
α
ν
+
β
ν
α
ν
2
α
(9.20)
Мы видим, что в данном случае величина 1-𝑟ν пропорциональна коэффициенту поглощения в линии σν. Что же касается множителя перед σν, то его можно считать не зависящим от частоты.
В предыдущем параграфе были получены выражения для коэффициента поглощения во внешних частях линии. Пользуясь этими выражениями и формулой (9.20), можно найти величину 1-𝑟ν в крыльях сильных линий. В частности, если σν определяется затуханием излучения, то
1-𝑟
λ
=
𝐷₁
(Δλ)²
,
(9.21)
а если σν определяется эффектом Штарка, то
1-𝑟
λ
=
𝐷₂
(Δλ)⁵/²
,
(9.22)
где 𝐷₁ и 𝐷₂ — некоторые постоянные. Следует, однако, иметь в виду, что в формуле (9.22) принято во внимание лишь влияние протонов. Если же учитывать и влияние электронов, то, как можно заключить на основании выражения (8.48) для коэффициента поглощения, в достаточно далёких крыльях линий величина 1-𝑟λ опять даётся формулой (9.21) (разумеется, с другим значением постоянной 𝐷₁). Значение Δλ, при котором надо перейти от одной формулы к другой для величины 1-𝑟λ в случае действия эффекта Штарка, зависит от электронной концентрации и температуры.
Формула (9.20) является приближённой, так как она основана на приближённой формуле (9.15) и на допущении, что величина σν/αν не меняется в атмосфере. Однако при выполнении неравенства σν≪αν можно также получить упрощённую формулу для 𝑟ν, не делая указанных предположений.
На основании формул (9.11) и (9.12) имеем
𝑟
ν
=
∞
∫
0 𝐵ν(𝑇) 𝐸₂ 𝑡ν 𝑑𝑡ν
∞
∫
0 𝐵ν(𝑇) 𝐸₂ 𝑡ν 𝑑τν
.
(9.23)
Займёмся числителем этого выражения. Пользуясь равенством
𝑑𝑡
ν
=
⎛
⎜
⎝
σν
αν
+
1
⎞
⎟
⎠
𝑑τ
ν
,
мы можем представить его в виде суммы:
∞
∫
0
𝐵
ν
(𝑇)
𝐸₂
𝑡
ν
𝑑𝑡
ν
=
∞
∫
0
𝐵
ν
(𝑇)
𝐸₂
𝑡
ν
𝑑τ
ν
+
+
∞
∫
0
𝐵
ν
(𝑇)
𝐸₂
𝑡
ν
σν
αν
𝑑τ
ν
.
(9.24)
Для первого слагаемого находим
∞
∫
0
𝐵
ν
(𝑇)
𝐸₂
𝑡
ν
𝑑τ
ν
=
∞
∫
1
𝑑𝑧
𝑧²
∞
∫
0
𝐵
ν
(𝑇)
𝑒
-𝑡
ν
𝑧
𝑑τ
ν
=
-
∞
∫
1
𝑑𝑧
𝑧²
∞
∫
0
𝑒
-(𝑡ν-τν)𝑧
𝑑τ
ν
𝑑
𝑑τν
∞
∫
τν
𝐵
ν
(𝑇')
𝑒
-τ'ν𝑧
𝑑τ'
ν
=
=
∞
∫
0
𝐵
ν
(𝑇)
𝐸₂
τ
ν
𝑑τ
ν
-
∞
∫
0
σν
αν
𝑑τ
ν
∞
∫
τν
𝐵
ν
(𝑇')
𝐸₁
τ'
ν
𝑑τ'
ν
(9.25)
(здесь использовано интегрирование по частям). Во втором же слагаемом при σν≪αν можно просто заменить 𝑡ν на τν. Поэтому вместо соотношения (9.24) получаем
∞
∫
0
𝐵
ν
(𝑇)
𝐸₂
𝑡
ν
𝑑𝑡
ν
=
∞
∫
0
𝐵
ν
(𝑇)
𝐸₂
τ
ν
𝑑τ
ν
-
-
∞
∫
0
σν
αν
𝑑τ
ν
⎡
⎢
⎣
∞
∫
τν
𝐵
ν
(𝑇')
𝐸₁
τ'
ν
𝑑τ'
ν
-
𝐵
ν
(𝑇)
𝐸₂
τ
ν
⎤
⎥
⎦
.
(9.26)
Подстановка (9.26) в (9.23) даёт
1-𝑟
ν
=
∞
∫
0
σν
αν
𝐺(τ
ν
)
𝑑τ
ν
,
(9.27)
где обозначено
𝐺(τ
ν
)
=
∞
∫
τν 𝐵ν(𝑇) 𝐸₁ τν 𝑑τν - 𝐵ν(𝑇) 𝐸₂ τν
∞
∫
0 𝐵ν(𝑇) 𝐸₂ τν 𝑑τν
.
(9.28)
