,
(8.7)
где обозначено
γ
𝑘
=
𝑘-1
∫
𝑖=1
𝐴
𝑘𝑖
.
(8.8)
Отсюда для средней продолжительности жизни атома в 𝑘-м состоянии получаем
𝑡
𝑘
=
∞
∫
0
𝑡
𝑒
-γ𝑘𝑡
γ
𝑘
𝑑𝑡
=
1
γ𝑘
.
(8.9)
Величины 𝐴𝑘𝑖 для разрешённых переходов — порядка 10⁷ с⁻¹. Поэтому средняя продолжительность жизни атома в возбуждённом состоянии оказывается порядка 10⁻⁷ с. Исключение составляют метастабильные состояния, из которых все переходы на нижележащие уровни запрещены. Для запрещённых переходов величины 𝐴𝑘𝑖 гораздо меньше, чем для разрешённых переходов. Поэтому средняя продолжительность жизни атома в метастабильном состоянии очень велика (иногда доходит до нескольких часов).
Для вычисления эйнштейновских коэффициентов переходов необходимо знать волновые функции атома. Так как определение волновых функций представляет весьма сложную задачу, то эйнштейновские коэффициенты переходов вычислены лишь для простейших случаев.
В таблице 5 даны значения величин 𝐴𝑘𝑖 для атома водорода. Здесь под индексами 𝑖 и 𝑘 понимаются главные квантовые числа, а величины 𝐴𝑘𝑖 имеют следующий смысл. Если 𝑛𝑘 есть количество атомов во всех состояниях с главным квантовым числом 𝑘, то общее число переходов в состояния с главным квантовым числом 𝑖, происходящих за 1 с, равно 𝑛𝑘𝐴𝑘𝑖. При этом предполагается, что распределение атомов по состояниям с разными азимутальными квантовыми числами пропорционально статистическим весам этих состояний.
Таблица 5
Значения 𝐴𝑘𝑖 для атома водорода
𝑘
𝑖
1
2
3
4
5
6
7
2
4,67⋅10⁸
-
-
-
-
-
-
3
5,54⋅10⁷
4,39⋅10⁷
-
-
-
-
-
4
1,27⋅10⁷
8,37⋅10⁶
8,94⋅10⁶
-
-
-
-
5
4,10⋅10⁶
2,52⋅10⁶
2,19⋅10⁶
2,68⋅10⁶
-
-
-
6
1,64⋅10⁶
9,68⋅10⁵
7,74⋅10⁵
7,67⋅10⁵
1,02⋅10⁶
-
-
7
7,53⋅10⁵
4,37⋅10⁵
3,34⋅10⁵
3,03⋅10⁵
3,24⋅10⁵
4,50⋅10⁵
-
8
3,85⋅10⁵
2,20⋅10⁵
1,64⋅10⁵
1,42⋅10⁵
1,38⋅10⁵
1,55⋅10⁵
2,26⋅10⁵
Эйнштейновские коэффициенты переходов 𝐴𝑘𝑖, 𝐵𝑘𝑖 и 𝐵𝑖𝑘 просто выражаются через так называемую силу осциллятора 𝑓𝑖𝑘. Например, эйнштейновский коэффициент спонтанного перехода равен
𝐴
𝑘𝑖
=
8π²𝑒²ν𝑖𝑘²
𝑚𝑐³
𝑔𝑖
𝑔𝑘
𝑖𝑘
,
(8.10)
где 𝑚 — масса электрона и 𝑒 — его заряд. Величина 𝑓𝑖𝑘 является безразмерной и представляет собой число классических осцилляторов, которые по поглощательному действию заменяют один атом.
2. Коэффициент поглощения, обусловленный затуханием излучения и тепловым движением атомов.
Спектральные линии не являются строго монохроматическими. В каждой линии могут поглощаться фотоны разных частот, близких к центральной частоте линии ν₀. Вероятность поглощения фотонов частоты ν внутри линии определяется многими причинами. Как и раньше (см. § 1), мы будем характеризовать эту вероятность объёмным коэффициентом поглощения, который обозначим через σν. Физический смысл этой величины, как мы помним, состоит в том, что вероятность поглощения фотона частоты ν на пути 𝑑𝑠 равна σν𝑑𝑠. Отметим также, что количество энергии частоты ν, поглощаемое единицей объёма за 1 с, равно σν∫𝐼ν𝑑ω где 𝐼ν — интенсивность излучения и интегрирование ведётся по всем направлениям.
Пусть рассматриваемая линия возникает при переходе атома из 𝑖-го состояния в 𝑘-е и 𝑛𝑖 — число атомов в 𝑖-м состоянии в 1 см³. Мы можем представить величину σν в виде σν=𝑛𝑖𝑘ν, где 𝑘ν — коэффициент поглощения, рассчитанный на один атом. Очевидно, что величины σν и 𝑘ν зависят от индексов 𝑖 и 𝑘, но для упрощения записи эти индексы мы опускаем.
Коэффициент поглощения 𝑘ν связан простой зависимостью с эйнштейновским коэффициентом поглощения 𝐵𝑖𝑘. Чтобы получить эту зависимость, напишем выражение для числа переходов с 𝑖-го уровня на 𝑘-й происходящих в 1 см³ за 1 с, сначала с помощью 𝐵𝑖𝑘, а затем с помощью 𝑘ν. С одной стороны, указанное число переходов равно 𝑛𝑘𝐵𝑖𝑘ρ𝑖𝑘. С другой стороны, то же число переходов можно представить в виде
𝑛
𝑘
∫
𝑘
ν
𝑑ν
ℎν
∫
𝐼
ν
𝑑ω
.
Приравнивая оба эти выражения и учитывая, что ∫𝐼ν 𝑑ω=𝑐ρν, где ρν — плотность излучения, находим
𝑐
∫
𝑘
ν
ρν
ℎν
𝑑ν
=
𝐵
𝑖𝑘
ρ
𝑖𝑘
.
(8.11)
Так как коэффициент поглощения 𝑘ν имеет резкий максимум в центральной частоте ν₀, то среднее значение величины ρν/ℎν можно вынести за знак интеграла. Тогда вместо (8.11) получаем
∫
𝑘
ν
𝑑ν
=
ℎν₀
𝑐
𝐵
𝑖𝑘
.
(8.12)
Соотношение (8.12) имеет место во всех случаях, независимо от того, какими причинами обусловлен вид функции 𝑘ν В частности, из этого соотношения следует, что чем шире интервал частот, внутри которого величина 𝑘ν не сильно отличается от своего значения в центре линии, тем меньше среднее значение коэффициента 𝑘ν в этом интервале.
Зависимость коэффициента поглощения 𝑘ν от частоты, как уже сказано, определяется рядом причин. Главными из них являются следующие: 1) затухание излучения (в терминах классической электронной теории) или размытость энергетических уровней атома (в терминах квантовой механики), 2) эффект Доплера, происходящий от теплового движения атомов.
Допустим сначала, что коэффициент поглощения определяется только затуханием излучения. В этом случае, согласно квантовой теории излучения (см., например, [1]), мы имеем
𝑘
ν
=
𝑐²
𝑔
𝑘
𝐴
𝑘𝑖
Γ
𝑘𝑖
,
