,
(8.1)
где 𝐸𝑘 и 𝐸𝑖 — энергия начального и конечного состояния соответственно. Под действием излучения частоты ν𝑖𝑘 может произойти обратный переход, в результате которого фотон поглощается. Излучение частоты ν𝑖𝑘 может также вызвать переход атома из 𝑘-го состояния в 𝑖-е, связанный с излучением фотона. Это — процесс вынужденного излучения или отрицательного поглощения.
Вероятности указанных процессов характеризуются некоторыми коэффициентами, введёнными Эйнштейном. Пусть 𝑛𝑘 — число атомов в 𝑘-м состоянии в 1 см³. Очевидно, что число спонтанных переходов из 𝑘-го состояния в 𝑖-е, происходящих в 1 см³ за время 𝑑𝑡, пропорционально числу 𝑛𝑘 и времени 𝑑𝑡, т.е. равно 𝑛𝑘𝐴𝑘𝑖𝑑𝑡. Величина 𝐴𝑘𝑖 называется эйнштейновским коэффициентом спонтанного перехода. Число переходов из 𝑖-го состояния в 𝑘-е, связанных с поглощением фотонов, в 1 см³ за время 𝑑𝑡 равно 𝑛𝑖𝐵𝑖𝑘ρ𝑖𝑘𝑑𝑡 где 𝑛𝑖 — число атомов в 𝑖-м состоянии в 1 см³ и ρ𝑖𝑘 — плотность излучения частоты ν𝑖𝑘. Величина 𝐵𝑖𝑘 представляет собой эйнштейновский коэффициент поглощения. Число переходов из 𝑘-го состояния в 𝑖-е, вызванных излучением, в 1 см³ за время 𝑑𝑡 может быть записано в виде
𝑛
𝑘
𝐵
𝑘𝑖
ρ
𝑖𝑘
𝑑𝑡
,
где 𝐵𝑘𝑖 — эйнштейновский коэффициент отрицательного поглощения.
Эйнштейновские коэффициенты переходов не являются независимыми, а связаны друг с другом двумя соотношениями. Для вывода этих соотношений рассмотрим состояние термодинамического равновесия. В этом случае имеет место детальное равновесие, при котором любой процесс компенсируется обратным процессом. В частности, число переходов из 𝑘-го состояния в 𝑖-е равно числу переходов из 𝑖-го состояния в 𝑘-е т.е.
𝑛
𝑘
𝐴
𝑘𝑖
+
𝑛
𝑘
𝐵
𝑘𝑖
ρ
𝑖𝑘
=
𝑛
𝑖
𝐵
𝑖𝑘
ρ
𝑖𝑘
.
(8.2)
С другой стороны, при термодинамическом равновесии распределение атомов по состояниям даётся формулой Больцмана
𝑛𝑘
𝑛𝑖
=
𝑔𝑘
𝑔𝑖
exp
⎛
⎜
⎝
-
ℎν𝑖𝑘
𝑘𝑇
⎞
⎟
⎠
,
(8.3)
где 𝑔𝑖 и 𝑔𝑘 — статистические веса состояний. Из (8.2) при помощи (8.3) получаем
ρ
𝑖𝑘
=
𝐴𝑘𝑖
𝐵𝑘𝑖
×
⎡
⎢
⎣
𝑔𝑖
𝑔𝑘
𝐵𝑖𝑘
𝐵𝑘𝑖
exp
⎛
⎜
⎝
ℎν𝑖𝑘
𝑘𝑇
⎞
⎟
⎠
-
1
⎤⁻¹
⎥
⎦
.
(8.4)
Сравнивая (8.4) с формулой Планка (4.4), также имеющей место при термодинамическом равновесии, находим
𝐴
𝑘𝑖
=
8πℎν𝑖𝑘³
𝑐³
𝐵
𝑘𝑖
,
𝐵
𝑘𝑖
=
𝑔𝑖
𝑔𝑘
𝐵
𝑖𝑘
.
(8.5)
Таким образом, если известен один из коэффициентов Эйнштейна, то два других определяются при помощи соотношений (8.5). Заметим, что хотя эти соотношения и были получены при рассмотрении термодинамического равновесия, они справедливы всегда, так как эйнштейновские коэффициенты переходов характеризуют свойства атома и фотона и не зависят от того, как распределены атомы по состояниям и фотоны по частотам.
Следует подчеркнуть большое различие между спонтанным и вынужденным излучением. При спонтанных переходах фотоны испускаются во все стороны. При вынужденных переходах фотоны испускаются в том же направлении, в каком летят вызвавшие эти переходы фотоны. Поэтому интенсивность падающего на атомы пучка излучения убывает вследствие поглощения, но возрастает вследствие вынужденных переходов. Этим объясняется, почему вынужденное излучение называют также отрицательным поглощением.
Из сказанного следует, что полное количество фотонов, поглощаемых в рассматриваемой линии в 1 см³ за 1 с, равно
𝑛
𝑖
𝐵
𝑖𝑘
ρ
𝑖𝑘
-
𝑛
𝑘
𝐵
𝑘𝑖
ρ
𝑖𝑘
=
𝑛
𝑖
𝐵
𝑖𝑘
ρ
𝑖𝑘
⎛
⎜
⎝
1
-
𝑛𝑘𝐵𝑘𝑖
𝑛𝑖𝐵𝑖𝑘
⎞
⎟
⎠
.
На основании второго из соотношений (8.5) это выражение можно переписать в виде
𝑛
𝑖
𝐵
𝑖𝑘
ρ
𝑖𝑘
⎛
⎜
⎝
1
-
𝑔𝑖𝑛𝑘
𝑔𝑘𝑛𝑖
⎞
⎟
⎠
.
Таким образом, для учёта отрицательного поглощения надо количество фотонов, претерпевших обычное поглощение, умножить на величину
1
-
𝑔𝑖𝑛𝑘
𝑔𝑘𝑛𝑖
.
Если распределение атомов по уровням даётся формулой Больцмана (в частности, при термодинамическом равновесии), то вместо последнего выражения имеем
𝑛
𝑖
𝐵
𝑖𝑘
ρ
𝑖𝑘
⎛
⎜
⎝
1
-
exp
⎧
⎪
⎩
-
ℎν𝑖𝑘
𝑘𝑇
⎫
⎪
⎭
⎞
⎟
⎠
.
Следовательно, в данном случае множитель, учитывающий отрицательное поглощение, равен
1
-
exp
⎧
⎪
⎩
-
ℎν𝑖𝑘
𝑘𝑇
⎫
⎪
⎭
.
Этим результатом мы уже пользовались ранее при рассмотрении поглощения в непрерывном спектре (§ 5).
Знание эйнштейновских коэффициентов спонтанных переходов даёт возможность определить среднюю продолжительность жизни атома в возбуждённых состояниях. Пусть 𝑛𝑘(0) — число атомов в 𝑘-м состоянии в момент времени 𝑡=0. Убывание вследствие спонтанных переходов на все лежащие ниже уровни происходит по закону
𝑑𝑛
𝑘
=-
𝑛
𝑘
𝑘-1
∫
𝑖=1
𝐴
𝑘𝑖
𝑑𝑡
,
(8.6)
или после интегрирования,
𝑛
𝑘
(𝑡)
=
𝑛
𝑘
(0)
𝑒
-γ𝑘𝑡
