32π³ν₀²
𝑔
𝑖
(ν-ν₀)²
+
⎛
⎜
⎝
Γ
𝑘𝑖
⎞
⎟
⎠
²
4π
(8.13)
где Γ𝑘𝑖=γ𝑖+γ𝑘, а величина γ𝑘 даётся формулой (8.8). Обозначим через Δν𝐸 расстояние от центра линии, на котором значение 𝑘ν составляет половину максимального значения 𝑘ν₀ Очевидно, что Δν𝐸=Γ𝑘𝑖/4π. Величина 2Δν𝐸 называется естественной шириной спектральной линии. От ширины, выраженной в частотах, мы можем перейти к ширине, выраженной в длинах волн, пользуясь формулой Δλ𝐸=λ₀Δν𝐸/ν₀. Естественная ширина линии, выраженная в длинах волн, оказывается порядка 0,001 Å.
Будем теперь считать, что зависимость 𝑘ν от частоты определяется только тепловым движением атомов. В этом случае выражение для 𝑘ν можно получить весьма легко. Если неподвижный атом поглощает фотоны с частотой ν₀, то движущийся атом поглощает фотоны с частотой ν=ν₀+ν₀𝑣𝑥/𝑐, где 𝑣𝑥 — проекция скорости атома на направление излучения (ось 𝑥). Мы примем, что распределение атомов по скоростям даётся формулой Максвелла, т.е. число атомов со скоростями от 𝑣𝑥 до 𝑣𝑥+𝑑𝑣𝑥 равно
𝑑𝑛
~
exp
⎛
⎜
⎝
-
𝑀𝑣𝑥²
2𝑘𝑇
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑣
𝑥
,
(8.14)
где 𝑀 — масса атома. Очевидно, что вероятность поглощения фотонов с частотами от ν до ν+𝑑ν пропорциональна числу атомов со скоростями от 𝑣𝑥 до 𝑣𝑥+𝑑𝑣𝑥. Поэтому для коэффициента поглощения имеем
𝑘
ν
=
𝑘₀
exp
⎛
⎜
⎝
-
𝑀
2𝑘𝑇
⎧
⎪
⎩
ν-ν₀
ν₀
𝑐
⎫²
⎪
⎭
⎞
⎟
⎠
,
(8.15)
где 𝑘₀ — значение 𝑘ν в центре линии.
Величину 𝑘₀ мы пока не знаем, однако во всех случаях, когда коэффициент поглощения в линии известен с точностью до постоянного множителя, этот множитель можно найти с помощью соотношения (8.12). Подставляя (8.15) в (8.12), получаем
𝑘₀
=
𝑐³
8π³/²ν₀³𝑣
𝑔𝑘
𝑔𝑖
𝐴
𝑘𝑖
.
(8.16)
Формулу (8.15) можно переписать в виде
𝑘
ν
=
𝑘₀
exp
⎛
⎜
⎝
-
⎧
⎪
⎩
ν-ν₀
Δν𝐷
⎫²
⎪
⎭
⎞
⎟
⎠
,
(8.17)
где Δν𝐷=ν₀𝑣/𝑐 и 𝑣 — средняя тепловая скорость атома, равная 𝑣=√2𝑘𝑇/𝑀. Величина 2Δν𝐷 называется доплеровской шириной спектральной линии. Выраженная в длинах волн доплеровская ширина оказывается порядка 0,1 Å (при средней скорости атома порядка 1 км/с). Следовательно, доплеровская ширина гораздо больше естественной ширины.
Легко получить, что при совместном действии затухания излучения и эффекта Доплера коэффициент поглощения равен
𝑘
ν
=
𝑘₀
𝑎
π
+∞
∫
-∞
𝑒-𝑦²𝑑𝑦
(𝑢+𝑦)²+𝑎²
,
(8.18)
где
𝑢
=
ν-ν₀
Δν𝐷
,
𝑎
=
Δν𝐸
Δν𝐷
(8.19)
и 𝑘₀ даётся формулой (8.16).
Вводя обозначение 𝑘ν/𝑘₀=𝐻(𝑢,𝑎), мы имеем
𝐻(𝑢,𝑎)
=
𝑎
π
+∞
∫
-∞
𝑒-𝑦²𝑑𝑦
(𝑢+𝑦)²+𝑎²
.
(8.20)
Функция 𝐻(𝑢,𝑎) играет очень большую роль в теории линейчатых спектров звёзд и поэтому подробно изучалась и табулировалась.
Вследствие того, что величина 𝑎 обычно очень мала, удобно разложить функцию 𝐻(𝑢,𝑎) в ряд по степеням 𝑎, т.е. представить в виде
𝐻(𝑢,𝑎)
=
𝐻₀(𝑢)
+
𝑎𝐻₁(𝑢)
+
𝑎²𝐻₂(𝑢)
+ …
(8.21)
Оказывается, что
𝐻₀(𝑢)
=
𝑒
-𝑢²
,
(8.22)
𝐻₁(𝑢)
=-
2
√π
⎡
⎢
⎣
1
-
2𝑢
𝑒
-𝑢²
𝑢
∫
0
𝑒
𝑡²
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
(8.23)
и т.д. В табл. 6 приведены значения функций 𝐻₀(𝑢), 𝐻₁(𝑢) и 𝐻₂(𝑢) для некоторых значений 𝑢. Подробные таблицы функций 𝐻𝑖(𝑢) даны Гаррисом [2].
Таблица 6
Значения функций 𝐻₀(𝑢), 𝐻₁(𝑢) и 𝐻₂(𝑢)
𝑢
𝐻₀(𝑢)
𝐻₁(𝑢)
𝐻₂(𝑢)
0
1,0000
-1,1284
+1,0000
0,2
0,9608
-1,0405
+0,8839
0,4
0,2521
-0,8035
+0,5795
0,6
0,6977
-0,4855
+0,1953
0,8
0,5273
-0,1672
-0,1476
1,0
0,3679
+0,0859
-0,3679
1,2
0,2369
+0,2454
-0,4454
1,4
0,1409
+0,3139
-0,4113
1,6
0,0773
+0,3157
-0,3185
1,8
0,0392
+0,2803
-0,2146
2,0
0,0183
+0,2317
-0,1282
2,2
0,0079
+0,1849
-0,0686
2,4
0,0032
+0,1461
-0,0332
2,6
0,0012
+0,1165
-0,0245
2,8
0,0004
+0,0947
-0,0058
3,0
0,0001
+0,0786
-0,0021
Приближённо при 𝑎≪1 в центральных частях линии коэффициент поглощения равен
𝑘
ν
=
𝑘₀
𝑒
-𝑢²
.
(8.24)
