2𝑛+1

2(4𝑛-𝑠-2)

.

(7.10)

Возьмём, например, 𝑛=2 и 𝑠=4. Тогда имеем

𝑇

=

𝑇₁

τ

^5/4

.

(7.11)

Таким образом, в протяжённой фотосфере температура возрастает с оптической глубиной гораздо быстрее, чем в фотосфере, состоящей из плоскопараллельных слоёв.

Знание зависимости 𝑇 от τ=1 даёт возможность вычислить распределение энергии в непрерывном спектре звезды. Для этого надо воспользоваться уравнением переноса излучения (1.20), положив в нём, на основании гипотезы о локальном термодинамическом равновесии, ε_ν=α_ν𝐵_ν(𝑇). Первоначально в теории протяжённых фотосфер принималось, что коэффициент поглощения не зависит от частоты. В таком случае кривая распределения энергии в непрерывном спектре звезды получалась очень сильно отличающейся от планковской кривой — с большим избытком излучения в ультрафиолетовой части спектра. Однако при учёте зависимости коэффициента поглощения от частоты указанного избытка излучения не получается вследствие сильного поглощения за границами основных серий атомов. Следует также иметь в виду, что в протяжённых фотосферах возможны очень большие отклонения от локального термодинамического равновесия.

2. Покровный эффект.

Излучение звезды в непрерывном спектре, проходя через поверхностные слои звезды, испытывает частичное поглощение в спектральных линиях. Энергия, поглощённая в линиях, возвращается обратно в фотосферу. Вследствие этого увеличивается плотность излучения в фотосфере, а значит, и её температура. Это явление называется покровным эффектом.

Обозначим через 𝐴 долю энергии, поглощённой в спектральных линиях. Эта величина может быть найдена из наблюдений. Например, для Солнца она приблизительно равна 10%.

Поглощение энергии в линиях происходит в поверхностном слое с оптической толщиной в непрерывном спектре порядка нескольких десятых. Однако для простоты мы сейчас примем, что энергия поглощается в линиях на границе звезды (при τ=0). Тогда при предположении о независимости коэффициента поглощения в непрерывном спектре от частоты (или при использовании среднего коэффициента поглощения) учёт покровного эффекта может быть произведён точно.

При составлении уравнения лучистого равновесия для данной задачи надо иметь в виду, что на каждый элементарный объём в фотосфере падает как диффузное излучение, идущее со всех сторон, так и излучение, отражённое от границы и ослабленное по пути. Интенсивность диффузного излучения мы обозначим через 𝐼(τ,μ), а интенсивность излучения, отражённого от границы,— через 𝐼_∗. Тогда в качестве условия лучистого равновесия получаем

𝑆(τ)

=

1

2

+1

∫

-1

𝐼(τ,μ)

𝑑μ

+

1

2

𝐼

_∗

1

∫

0

𝑒

^-τ/μ

𝑑μ

.

(7.12)

Подставляя в (7.12) выражение 𝐼(τ,μ) через 𝑆(τ), найденное из уравнения переноса излучения (т.е. поступая так же, как при получении уравнения Милна), находим

𝑆(τ)

=

1

2

∞

∫

0

𝐸₁|τ-τ'|

𝑆(τ')

𝑑τ'

+

1

2

𝐼

_∗

𝐸₂τ

.

(7.13)

Для определения величины 𝐼_∗ мы должны воспользоваться соотношением

𝐼

_∗

=

2𝐴

1

∫

0

𝐼(0,μ)

μ

𝑑μ

,

(7.14)

выражающим собой тот факт, что из количества энергии, падающей на границу, отражается обратно доля 𝐴. Очевидно, что в данном случае поток излучения должен быть таким же, как и при отсутствии покровного эффекта (т.е. равным π𝐹). Поэтому имеем

2(1-𝐴)

1

∫

0

𝐼(0,μ)

μ

𝑑μ

=

𝐹

.

(7.15)

Из (7.14) и (7.15) следует

𝐼

_∗

=

𝐴

1-𝐴

𝐹

.

(7.16)

Подставляя (7.16) в (7.13), получаем

𝑆(τ)

=

1

2

∞

∫

0

𝐸₁|τ-τ'|

𝑆(τ')

𝑑τ'

+

𝐴𝐹

2(1-𝐴)

𝐸₂τ

.

(7.17)

Уравнение (7.17) при 𝐴=0 переходит в уравнение Милна.

Легко убедиться, что решение уравнения (7.17) имеет вид

𝑆(τ)

=

𝐴

1-𝐴

𝐹

+

3

4

𝐹

[τ+𝑞(τ)]

,

(7.18)

где 𝑞(τ) — функция Хопфа [см. формулу (2.51)].

Используя известные соотношения

𝑆(τ)

=

σ𝑇⁴

/

π

и

𝐹

=

σ𝑇

4

𝑒

/

π

вместо (7.18) находим

𝑇⁴

=

𝑇

4

𝑒

⎧

⎨

⎩

𝐴

1-𝐴

+

3

4

𝐹

[τ+𝑞(τ)]

⎫

⎬

⎭

.

(7.19)

Из формулы (7.19) видно, какое влияние оказывает покровный эффект на температуру в фотосфере. Однако эту формулу нельзя применять при очень малых значениях τ (из-за сделанного выше допущения о том, что излучение отражается от самой границы звезды).

3. Эффект отражения в тесных парах.

Рис. 10

Если две звезды находятся близко друг от друга, то при изучении их свечения необходимо принимать во внимание обмен лучистой энергией между ними. В этом случае к собственному излучению каждой звезды добавляется ещё излучение, отражённое ею. Разумеется, процесс отражения является в действительности весьма сложным: он состоит в том, что в каждой звезде под действием излучения соседней звезды происходит увеличение температуры, вследствие чего и возрастает количество излучаемой звездою энергии. Напишем уравнение лучистого равновесия для данной задачи. Допустим, что на границу звезды 𝐴 падает излучение от звезды 𝐵 внутри телесного угла Ω (рис. 10). Угол Ω для простоты будем считать малым. Среднюю интенсивность излучения, падающего внутри телесного угла Ω, обозначим через 𝐼₀, а средний угол между направлением этого излучения и нормалью к фотосферным слоям — через θ₀ Тогда уравнение лучистого равновесия будет иметь вид

𝑆(τ,μ₀)

=

1

2

+1

∫

-1

𝐼(τ,μ',μ₀)

𝑑μ'

+

𝐼₀Ω

4π

exp

⎛

⎜

⎝

-

τ

μ₀

⎞

⎟

⎠

,

(7.20)

где 𝐼(τ,μ',μ₀) — интенсивность диффузного излучения в фотосфере (μ'=cos θ', μ₀=cos θ₀).

Пользуясь уравнением (7.20) и уравнением переноса излучения, как и при получении уравнения (2.45), находим