𝑆(τ,μ₀)
=
1
2
∞
∫
0
𝐸₁|τ-τ'|
𝑆(τ',μ₀)
𝑑τ'
+
𝐼₀Ω
4π
exp
⎛
⎜
⎝
-
τ
μ₀
⎞
⎟
⎠
.
(7.21)
Уравнение (7.21) принадлежит к типу уравнений, подробно рассмотренных в § 3. Решение этого уравнения будет состоять из двух слагаемых: первое слагаемое определяется источниками энергии, находящимися внутри звезды (на бесконечно большой глубине), а второе — энергией, поступающей в фотосферу звезды 𝐴 от звезды 𝐵. На основании формул (3.16) и (3.64) получаем
𝑆(τ,μ₀)
=
√3
4
𝐹
⎡
⎢
⎣
1
+
τ
∫
0
Φ(τ')
𝑑τ'
⎤
⎥
⎦
+
𝐼₀Ω
4π
φ(μ₀)
×
×
⎡
⎢
⎣
exp
⎛
⎜
⎝
-
τ
μ₀
⎞
⎟
⎠
+
τ
∫
0
exp
⎛
⎜
⎝
-
τ-τ'
μ₀
⎞
⎟
⎠
Φ(τ')
𝑑τ'
⎤
⎥
⎦
,
(7.22)
где φ(μ₀) и Φ(τ) — функции, определяемые уравнениями (3.53) и (3.55) соответственно.
При τ=0 из (7.22) получается следующая простая формула:
𝑆(0,μ₀)
=
√3
4
𝐹
+
𝐼₀Ω
4π
φ(μ₀)
.
(7.23)
Так как величина 𝑆(τ,μ₀) пропорциональна 𝑇⁴, то при помощи формулы (7.22) может быть вычислена температура 𝑇 на любой оптической глубине и при произвольном положении соседней звезды относительно данного места в фотосфере. Формула (7.23) позволяет определить значение поверхностной температуры 𝑇₀.
Если температура в фотосфере известна, то, пользуясь формулой (6.3), можно найти интенсивность излучения, выходящего из данного места поверхности звезды в любой частоте ν.
Очевидно, что для нахождения полной интенсивности излучения нет необходимости в знании температуры. Обозначим через θ угол отражения, т.е. угол между направлением выходящего из звезды излучения и направлением радиуса-вектора (cos θ=μ). Тогда интенсивность излучения 𝐼(0,μ,μ₀) будет определяться формулой
𝐼(0,μ,μ₀)
=
∞
∫
0
𝑆(τ,μ₀)
exp
⎛
⎜
⎝
-
τ
μ₀
⎞
⎟
⎠
𝑑τ
μ
,
(7.24)
в которую надо подставить выражение (7.22). Указанная подстановка уже была сделана в § 3. На основании формулы (3.40) (в которой 𝑚=1/μ₀) и формул (3.57) и (3.63) находим
𝐼(0,μ,μ₀)
=
√3
4
𝐹φ(μ)
+
𝐼₀Ω
4π
φ(μ)φ(μ₀)
μ+μ₀
μ₀
.
(7.25)
Из полученных формул видно, что эффект отражения тем больше, чем больше отношение 𝐼₀Ω/π𝐹 Это отношение можно представить в более удобной форме. Если телесный угол Ω мал, то мы получаем
𝐼₀
Ω
=
𝐿𝐵
4π𝑟²
,
(7.26)
где 𝐿𝐵 — светимость звезды 𝐵 и 𝑟 —расстояние между звёздами 𝐴 и 𝐵. С другой стороны, имеем
π𝐹
=
𝐿𝐵
4π𝑟𝐵²
,
(7.27)
где 𝐿𝐵 и 𝑟𝐵 — светимость и радиус звезды 𝐵 соответственно. Из (7.26) и (7.27) следует:
𝐼₀Ω
π𝐹
=
𝐿𝐵
𝐿𝐴
⎛
⎜
⎝
𝑟𝐴
𝑟
⎞²
⎟
⎠
.
(7.28)
Оценки по приведённым формулам показывают, что роль эффекта отражения может быть значительной. Разумеется, она зависит от положения звезды 𝐵 относительно рассматриваемого места в фотосфере звезды 𝐴 (тем больше, чем меньше угол θ₀). Эффект отражения сказывается на кривых изменения блеска.
4. Поляризация излучения горячих звёзд.
В фотосферах горячих звёзд большую роль в переносе излучения играет рассеяние света свободными электронами. В этом случае свет, рассеянный элементарным объёмом, является поляризованным. Поэтому при изучении фотосфер горячих звёзд необходимо рассмотреть перенос поляризованного излучения.
Рассеяние света свободными электронами происходит по закону, который можно сформулировать следующим образом. Пусть 𝐼∥ и 𝐼⊥ — интенсивности линейно-поляризованного излучения с электрическим вектором, соответственно параллельным и перпендикулярным к плоскости рассеяния (т.е. плоскости, в которой лежат падающий и рассеянный лучи). Если излучение падает на единичный объём внутри телесного угла 𝑑ω, то количество энергии, рассеянное этим объёмом в направлении, образующем угол γ с направлением падающего излучения, в единичном телесном угле равно соответственно
3
2
σ
𝑒
𝐼
∥
cos²γ
𝑑ω
4π
и
3
2
σ
𝑒
𝐼
⊥
𝑑ω
4π
,
причём рассеянное излучение имеет то же направление электрического вектора, что и падающее излучение. Здесь σ𝑒 — объёмный коэффициент рассеяния свободными электронами, определённый формулой (5.16).
Как мы знаем, поле излучения в фотосфере обладает осевой симметрией: интенсивность излучения зависит только от τ и угла θ, но не зависит от азимута. Поэтому в данном случае для характеристики поляризованного излучения достаточно задать лишь две величины (а не четыре, как в общем случае). В качестве этих величин мы можем взять интенсивности излучения 𝐼𝑙 и 𝐼𝑟 с колебаниями соответственно в плоскости, проходящей через луч и нормаль к фотосферным слоям, и перпендикулярно к этой плоскости. Вместо интенсивностей 𝐼𝑙 и 𝐼𝑟 можно взять также интенсивности 𝐼 и 𝐾, равные
𝐼
=
𝐼
𝑟
+
𝐼
𝑙
,
𝐾
=
𝐼
𝑟
-
𝐼
𝑙
.
(7.29)
Величина 𝐼 есть общая интенсивность излучения, а величина 𝑝=𝐼/𝐾 — степень поляризации излучения.
Для определения величин 𝐼 и 𝐾 мы имеем обычные уравнения переноса излучения:
cos θ
𝑑𝐼
𝑑τ
=
𝐼-𝑆
,
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
cos θ
𝑑𝐾
𝑑τ
=
𝐾-𝑅
,
(7.30)
где 𝑑τ=-σ𝑒𝑑𝑟.
На основании закона рассеяния света свободными электронами можно получить, что входящие в эти уравнения величины 𝑆 и 𝑅 связаны с интенсивностями излучения 𝐼 и 𝐾 следующими уравнениями лучистого равновесия:
