ℎ³

exp

⎛

⎜

⎝

-

χ_₁

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

,

(5.5)

которая называется формулой ионизации или формулой Саха. Здесь 𝑛_𝑒 — число свободных электронов и 𝑛⁺ — число ионов в основном состоянии в 1 см³, 𝑔⁺ —статистический вес основного состояния иона.

В дальнейшем мы приведём выражения для коэффициентов поглощения 𝑘_𝑖ν и α_ν'' для некоторых атомов и, пользуясь формулами (5.2) — (5.5), составим выражение для объёмного коэффициента поглощения α_ν. Формулы для коэффициентов излучения, соответствующих разным типам переходов, нам в теории фотосфер не понадобятся, так как при термодинамическом равновесии нужный нам объёмный коэффициент излучения ε_ν выражается через объёмный коэффициент поглощения α_ν законом Кирхгофа — Планка.

2. Поглощение атомами водорода.

Для вычисления коэффициентов поглощения в непрерывном спектре необходимо знать волновые функции атома как для состояний с отрицательной энергией, так и для состояний с положительной энергией. Нахождение волновых функций является, как известно, очень трудной задачей. Только для простейших случаев она более или менее удовлетворительно разрешена.

Мы сейчас приведём результаты определения коэффициентов поглощения для водородного атома. Коэффициент поглощения 𝑘_𝑖ν, рассчитанный на один атом водорода в 𝑖-м состоянии, равен

𝑘

_𝑖ν

=

2⁶π⁴

3√3

𝑚𝑒¹⁰

𝑐ℎ⁶𝑖ν³

𝑔

_𝑖ν

,

(5.6)

где 𝑚 и 𝑒 — масса и заряд электрона соответственно, 𝑔_𝑖ν — некоторый поправочный множитель, близкий к единице (так называемый множитель Гаунта). Формула (5.6) справедлива лишь для частот, удовлетворяющих неравенству ν≥ν_𝑖=χ_𝑖/ℎ, т.е. за пределом 1-й серии. Мы видим, что за пределом серии коэффициент поглощения 𝑘_𝑖ν убывает обратно пропорционально кубу частоты. Значения коэффициента поглощения сразу за пределами первых серий порядка 10⁻¹⁷ см² (0,63⋅10⁻¹⁷ см² сразу за пределом серии Лаймана, 1,4⋅10⁻¹⁷ см² — сразу за пределом серии Бальмера и т.д.).

Чтобы найти объёмный коэффициент поглощения α_ν', надо подставить выражение (5.6) в формулу (5.2). Вместе с тем мы примем, что распределение атомов по состояниям даётся формулами (5.4) и (5.5). Из двух последних формул получаем

𝑛

_𝑖

=

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

𝑔_𝑖

𝑔⁺

ℎ³

2(2π𝑚𝑘𝑇)³^/²

exp

⎛

⎜

⎝

χ_𝑖

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

(5.7)

Подставляя (5.6) и (5.7) в формулу (5.2), находим

α

_ν

'

=

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

2⁵π²𝑒⁶

3√3𝑐ℎ

χ₁

(2π𝑚𝑘𝑇)³^/²

⋅

1

ν³

∞

∑

𝑖=𝑖₀

𝑔_𝑖ν

𝑖³

exp

⎛

⎜

⎝

χ_𝑖

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

,

(5.8)

где величина χ₁ как и раньше, есть энергия ионизации из первого состояния, равная

χ₁

=

2π²𝑚𝑒⁴

ℎ²

.

(5.9)

В формуле (5.8) для частот за границей серии Лаймана 𝑖₀=1, для частот от границы серии Бальмера до границы серии Лаймана 𝑖₀=2 и т.д.

Для коэффициента поглощения α_ν'', обусловленного свободно-свободными переходами электрона в поле протона, квантовая механика даёт

α

_ν

''

=

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

2⁴π²𝑒⁶𝑘𝑇

3√3𝑐ℎ(2π𝑚𝑘𝑇)³^/²

1

ν³

𝑔

_ν

,

(5.10)

где 𝑛_𝑒 и 𝑛⁺ — число свободных электронов и число протонов в 1 см³ соответственно, 𝑔_ν — поправочный множитель Гаунта порядка единицы. При получении формулы (5.10) принято, что распределение свободных электронов по скоростям даётся формулой Максвелла с температурой 𝑇. Коэффициент поглощения α_ν'' так же как 𝑘_𝑖ν, обратно пропорционален кубу частоты. Однако формула (5.10), в отличие от формулы (5.6), справедлива для всех частот.

Однако формулы (5.8) и (5.10) не вполне точны, так как в них не учтено так называемое отрицательное поглощение. Подробно об отрицательном поглощении речь будет идти в § 8. Пока же заметим, что при термодинамическом равновесии (точнее говоря, при выполнении формул Максвелла, Больцмана и Саха) для учёта отрицательного поглощения приведённое выше выражение для коэффициента поглощения следует умножить на величину 1-𝑒^{-ℎν/(𝑘𝑇)}

Подставляя (5.8) и (5.10) в формулу (5.3) и учитывая отрицательное поглощение, получаем следующее выражение для объёмного коэффициента поглощения, обусловленного водородными атомами:

α

_ν

=

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

2⁴π²𝑒⁶𝑘𝑇

3√3𝑐ℎ(2π𝑚𝑘𝑇)³^/²

×

×

⎡

⎢

⎣

2

χ₁

𝑘𝑇

∞

∑

𝑖=𝑖₀

𝑔_𝑖ν

𝑖³

exp

⎛

⎜

⎝

χ_𝑖

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

+

𝑔

_ν

⎤

⎥

⎦

1

ν³

⋅

⎧

⎪

⎩

1

-

exp

⎛

⎜

⎝

-

ℎν

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

⎫

⎪

⎭

.

(5.11)

Зависимость коэффициента поглощения от частоты, даваемая формулой (5.11), схематически представлена на рис. 5. Мы видим, что эта зависимость является весьма сложной. Бросаются в глаза скачки коэффициента поглощения у пределов серий.

Рис. 5

Аналогичный характер носит зависимость коэффициента поглощения от частоты для водородоподобных ионов (He⁺, Li⁺⁺, и т.д.). В этом случае коэффициенты поглощения определяются приведёнными выше формулами с небольшими видоизменениями. Для иона с атомным номером Z в правую часть формулы (5.6) надо ввести множитель Z⁴, а в правые части формул (5.10) и (5.11) — множитель Z². При этом в формуле (5.11) под χ₁ следует понимать энергию ионизации из основного состояния рассматриваемого иона.

Приведённые формулы можно использовать и для приближённого вычисления коэффициентов поглощения неводородоподобных атомов. Это можно делать в тех случаях, когда поглощение связано с переходами электронов с высоких энергетических уровней. Вообще же коэффициенты поглощения разных атомов должны определяться специальными расчётами или экспериментально. Оказывается, что зависимость коэффициента поглощения от частоты для разных атомов весьма различна. Например, коэффициент поглощения из основного состояния нейтрального гелия обратно пропорционален квадрату частоты, коэффициент поглощения из основного состояния нейтрального кислорода с увеличением частоты сначала растёт, а затем убывает, и т.д.