_𝑟

)

=-

𝑔ρ

𝑑𝑟

.

(4.62)

Пользуясь уравнениями (4.62) и (4.45), а также выражением (4.43) для газового давления и выражением (4.61) для светового давления, можно получить, как и выше, распределение температуры и плотности в фотосфере. Однако мы не будем делать этого, а найдём лишь отношение светового давления 𝑝_𝑟 к полному давлению 𝑝=(𝑝_𝑔+𝑝_𝑟) Разделив (4.59) на (4.42) и положив α=ϰρ, получаем

𝑑𝑝_𝑟

𝑑(𝑝_𝑔+𝑝_𝑟)

=

ϰ𝐻

𝑔𝑐

.

(4.63)

Полный поток излучения 𝐻 постоянен в фотосфере. Мы примем, что и ϰ=const. В этом случае интегрирование даёт

𝑝

_𝑟

-

𝑝

0

𝑟

=

ϰ𝐻

𝑔𝑐

(

𝑝

_𝑔

+

𝑝

_𝑟

-

𝑝

0

𝑟

),

(4.64)

где

𝑝

0

𝑟

— световое давление на поверхности звезды. Отсюда для глубоких слоёв фотосферы следует

𝑝_𝑟

𝑝

=

ϰ𝐻

𝑔𝑐

.

(4.65)

Для вычислений по формуле (4.65) надо знать величину ϰ (т.е. средний коэффициент поглощения, рассчитанный на единицу массы). Для этого могут быть использованы формулы, приведённые в следующем параграфе. Вычисления показывают, что для звёзд типа Солнца величина 𝑝_𝑟/𝑝 — порядка нескольких тысячных, а для звёзд более поздних спектральных классов главной последовательности она ещё меньше. Следовательно, для этих звёзд световым давлением можно пренебречь по сравнению с газовым. Однако роль светового давления растёт с увеличением эффективной температуры звезды, и для горячих сверхгигантов отношение светового давления к газовому — порядка единицы.

§ 5. Зависимость коэффициента поглощения от частоты

1. Излучение и поглощение в непрерывном спектре.

До сих пор мы не касались вопроса о том, с какими физическими процессами связано излучение и поглощение энергии в непрерывном спектре. Переходя теперь к рассмотрению этого вопроса, обратимся к схеме энергетических уровней атома (рис. 4).

Рис. 4

Как известно, каждый атом может находиться в некоторых устойчивых состояниях с определёнными дискретными значениями энергии: 𝐸₁, 𝐸₂, …, 𝐸_𝑖, …. Эти значения энергии отрицательны 𝐸_𝑖<0. В соответствующих им состояниях внешний электрон связан с атомом, или, как иногда говорят, находится на эллиптической орбите. При переходах атома между такими состояниями происходит излучение и поглощение квантов в спектральных линиях.

Вместе с тем атом может находиться и в состояниях с положительной энергией 𝐸>0. В таких состояниях электрон не связан с атомом, т.е. находится на гиперболической орбите. Положительные энергетические уровни атома расположены непрерывно.

Переход атома из состояния с отрицательной энергией в состояние с положительной энергией (т.е. переход электрона из связанного состояния в свободное) называется ионизацией атома. Ионизация может происходить под действием излучения; в таком случае она называется фотоионизацией.

При фотоионизации происходит поглощение светового кванта. При этом энергия кванта частично расходуется на отрыв электрона от атома, а частично на сообщение кинетической энергии оторванному электрону. Иными словами, в этом случае имеет место соотношение

ℎν

=

χ

_𝑖

+

1

2

𝑚𝑣²

,

(5.1)

где обозначено χ_𝑖=-𝐸_𝑖 Величина χ_𝑖 представляет собой энергию ионизации атома из 𝑖-го состояния. Соотношение (5.1) было впервые получено Эйнштейном при рассмотрении фотоэлектрического эффекта.

При фотоионизации с 𝑖-го уровня может быть поглощён любой квант, энергия которого больше или равна энергии ионизации, т.е. ℎν≥χ_𝑖. Следовательно, при фотоионизации происходит поглощение энергии в непрерывном спектре.

Процесс, обратный ионизации, т.е. захват ионизованным атомом свободного электрона, называется рекомбинацией. При рекомбинации происходит излучение энергии в непрерывном спектре. При этом если электрон со скоростью 𝑣 захватывается на 𝑖-й уровень, то излучается квант частоты ν, определяемой тем же соотношением (5.1).

Кроме фотоионизаций и рекомбинаций, к поглощению и излучению энергии в непрерывном спектре ведут также переходы атомов между состояниями с положительной энергией, т.е. переходы электронов из свободных состояний в свободные. Очевидно, что при таких переходах могут поглощаться и излучаться кванты любой частоты.

Вероятности всех указанных переходов характеризуются соответствующими коэффициентами поглощения и излучения. Мы обозначим через 𝑘_𝑖ν коэффициент поглощения квантов частоты ν, рассчитанный на один атом в 𝑖-м состоянии. Тогда объёмный коэффициент поглощения квантов частоты ν атомами в 𝑖-м состоянии будет равен α_𝑖ν=𝑛_𝑖𝑘_𝑖ν где 𝑛 — число атомов в 𝑖-м состоянии в единице объёма. А объёмный коэффициент поглощения, обусловленный всеми фотоионизациями, будет равен

α

_ν

'

=

∞

∑

𝑖=𝑖₁

𝑛

_𝑖

𝑘

_𝑖ν

,

(5.2)

где 𝑖₀ определяется для каждой частоты из того условия, что при 𝑖≥𝑖₀ выполняется неравенство ℎν≥χ_𝑖.

Объёмный коэффициент поглощения, обусловленный свободно-свободными переходами, мы обозначим через α_ν''. Очевидно, что он пропорционален числу свободных электронов и числу ионизованных атомов в единице объёма (так как свободно-свободные переходы совершаются в поле иона).

Полный объёмный коэффициент поглощения α_ν (фигурировавший в предыдущем параграфе) является суммой:

α

_ν

=

α

_ν

'

+

α

_ν

''

.

(5.3)

Мы видим, что коэффициент поглощения α_ν существенно зависит от распределения атомов по состояниям. Как уже было сказано, в теории фотосфер делается предположение о локальном термодинамическом равновесии. Поэтому и распределение атомов по состояниям мы возьмём такое же, как в случае термодинамического равновесия.

Как известно, в указанном случае распределение атомов по дискретным уровням энергии даётся формулой Больцмана:

𝑛_𝑖

𝑛₁

=

𝑔_𝑖

𝑔₁

exp

⎛

⎜

⎝

-

χ₁-χ_𝑖

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

,

(5.4)

где 𝑔_𝑖 — статистический вес 𝑖-гo уровня. Величина χ₁-χ_𝑖 представляет собой энергию возбуждения 𝑖-гo уровня.

Обобщая (5.4) на состояния атома с положительной энергией, можно получить отношение числа ионизованных атомов к числу нейтральных атомов. Это отношение даётся формулой

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

𝑛₁

=

2

𝑔⁺

𝑔₁

(2π𝑚𝑘𝑇)³^/²