10

⁶

Сириус А

2,34

1

,78

38

,9

0,016

31

,7

26

⋅

10

⁶

Капелла А

4,18

15

,9

120

0,045

0

,080

5

⋅

10

⁶

В таблице 56, заимствованной у Чандрасекара [3], приведены результаты вычислений некоторых характеристик для трёх звёзд, полученные при предположении, что звёзды построены согласно стандартной модели. При вычислениях были заданы значения 𝑀, 𝐿, 𝑅 и было принято μ=1.

Эддингтон, основываясь на своей модели звезды, сделал заключение о существовании зависимости между массами и светимостями звёзд. Его рассуждение (в несколько изменённом виде) было следующим. Рассмотрим соотношения (35.54) и (35.60). Исключая из них величину β, мы приходим к зависимости между величинами 𝑀, 𝐿, ϰη и μ. Будем считать, что величины ϰη и μ одинаковы для всех звёзд. Тогда получается зависимость между 𝑀 и 𝐿. При этом при малых 𝑀, (т.е. при значениях β, близких к 1) соотношения (35.54) и (35.60) дают

𝐿

~

𝑀³

,

(35.62)

а при больших 𝑀 (т.е, при малых значениях β) из (35.49) следует

𝐿

~

𝑀

,

(35.63)

Эддингтон сопоставил свои теоретические выводы с наблюдательными данными о массах и светимостях звёзд и получил согласие между ними. Разумеется, это согласие нельзя считать подтверждением рассматриваемой теории, так как при её построении был сделан ряд необоснованных предположений (главным из которых является предположение о постоянстве ϰη внутри звезды). Однако интересно то, что при этих исследованиях Эддингтон впервые получил зависимость между массами и светимостями звёзд из наблюдательных данных. Как известно, эта зависимость является одним из фундаментальных соотношений звёздной астрономии.

§ 36. Физические процессы внутри звёзд

1. Уравнение состояния звёздного вещества.

В предыдущем параграфе были в общих чертах выяснены физические условия в звёздных недрах (т.е. оценены значения плотности, температуры и давления). Теперь мы перейдём к рассмотрению физических процессов, идущих при таких условиях. Это позволит нам, в частности, получить выражения для тех параметров, которые входят в основные уравнения теории внутреннего строения звёзд.

Из приведённых выше результатов [например, из формулы (35.27)] следует, что с углублением в звезду происходит значительное увеличение температуры. Этим обусловлена сильная ионизация атомов внутри звезды. Как известно (см. § 13), отношение числа ионизованных атомов 𝑛⁺ к числу нейтральных атомов 𝑛₁ даётся следующей формулой:

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

𝑛₁

=

𝑔⁺

𝑔₁

2(2π𝑚𝑘𝑇)³^/²

ℎ³

exp

⎛

⎜

⎝

χ₁

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

,

(36.1)

где χ₁ — энергия ионизации из основного состояния. Аналогичной формулой определяется и отношение числа 𝑠 раз ионизованных атомов к числу 𝑠-1 раз ионизованных атомов. Из формулы (36.1) видно, что степень ионизации существенно зависит от отношения χ₁/𝑘𝑇 и, грубо говоря, атомы переходят в следующую стадию ионизации, когда это отношение становится порядка единицы. Поэтому лёгкие атомы, обладающие небольшими энергиями отрыва последнего электрона (в частности, водород и гелий), оказываются полностью ионизованными уже в поверхностных слоях звезды. А от тяжёлых атомов по мере проникновения в глубь звезды отрывается все большее и большее число электронов.

Таким образом, газ внутри звезды (представляющий собой высокотемпературную плазму) состоит из большого числа свободных электронов, из «голых» ядер лёгких атомов и из тяжёлых атомов, лишённых значительной части своих электронных оболочек. Такой состав газа внутри звезды следует принимать во внимание при написании уравнения состояния газа и, в частности, при определении его среднего молекулярного веса.

При рассмотрении звёздных атмосфер в качестве уравнения состояния вещества мы брали уравнение состояния обычного идеального газа. Можно было бы думать, что при углублении внутрь звезды газ перестаёт быть идеальным вследствие сильного возрастания его плотности. Однако в действительности почти полная ионизация атомов внутри звезды приводит к резкому уменьшению размеров частиц (от размеров атомов порядка 10⁻⁸ см до размеров ядер порядка 10⁻¹³ см). Благодаря этому и внутри звезды газ остаётся идеальным, т.е. уравнение состояния газа мы можем записать в виде

𝑃

=

𝑛

𝑘𝑇

,

(36.2)

где 𝑛 — число частиц в 1 см³. Переходя здесь от концентрации 𝑛 к плотности ρ при помощи соотношения

𝑛

=

ρ

μ𝑚_𝙷

,

(36.3)

где μ — средняя молекулярная масса и 𝑚_𝙷 — масса атома водорода, вместо (36.2) получаем

𝑃

=

𝑘

μ𝑚_𝙷

ρ𝑇

,

(36.4)

т.е. уравнение, совпадающее с ранее использовавшимся уравнением (35.26) (так как 𝑅_∗=𝑘/μ𝑚_𝙷).

Величина μ, входящая в уравнение состояния (36.4), имеет важное значение для теории внутреннего строения звёзд. Найдём эту величину, пользуясь формулой (36.3) и имея в виду, что плотность ρ определяется в основном атомами, а концентрация 𝑛 — как атомами, так и свободными электронами. В качестве первого приближения все атомы внутри звезды будем считать полностью ионизованными.

Допустим сначала, что звезда состоит из одного элемента с атомным номером 𝑍 и атомной массой 𝐴. Так как при полной ионизации на каждый атом приходится 𝑍 свободных электронов, то мы имеем

𝑛

=

ρ

𝐴𝑚_𝙷

(1+𝑍)

.

(36.5)

Поэтому для величины μ получаем

μ

=

𝐴

1+𝑍

.

(36.6)

Формула (36.6) даёт для водорода μ=¹/₂, для гелия μ=⁴/₃, для других элементов μ≈2. Таким образом, средняя молекулярная масса внутри звезды заключена в сравнительно небольших пределах. Однако даже небольшие различия в величине μ весьма существенны. Это объясняется тем, что температура согласно формуле (35.28) пропорциональна μ, а от температуры чрезвычайно сильно зависит количество энергии, выделяющейся при ядерных реакциях.

На самом деле звезда состоит из смеси разных элементов. Чтобы получить формулу для μ в этом случае, обозначим через 𝑥_𝑍 весовую долю элемента с атомным номером 𝑍 (т.е. будем считать, что на грамм звёздного вещества приходится 𝑥_𝑍 граммов атомов данного элемента). Для величины 𝑛 теперь находим

𝑛

=

∑

𝑥_𝑍ρ

𝐴𝑚_𝙷

(1+𝑍)

,

(36.7)

где суммирование производится по всем элементам. Подстановка (36.7) в (36.3) даёт

μ

=

1

.

∑

𝑥

_𝑍

(1+𝑍)