𝐿
𝑟
.
(35.43)
Выражение для величины 𝐻𝑟 определяется механизмом переноса энергии внутри звезды. Исследования показали, что основным из этих механизмов является лучеиспускание (хотя в некоторых случаях необходимо принимать во внимание конвекцию и теплопроводность).
Если считать, что энергия внутри звезды переносится только лучеиспусканием, то из уравнения переноса излучения находим
𝑑𝑃𝑅
𝑑𝑟
=-
ϰρ
𝑐
𝐻
𝑟
,
(35.44)
где 𝑃𝑅 —давление излучения, ϰ — коэффициент поглощения, рассчитанный на единицу массы, и 𝑐 — скорость света.
Из (35.43) и (35.44) следует
𝑑𝑃𝑅
𝑑𝑟
=-
ϰρ
𝑐
𝐿𝑟
𝑟
.
(35.45)
Подставляя (35.42) в (35.45), имеем
1
𝑟²
𝑑
𝑑𝑟
⎛
⎜
⎝
𝑟²
ϰρ
𝑑𝑃𝑅
𝑑𝑟
⎞
⎟
⎠
=-
ε
𝑐
ρ
.
(35.46)
Это и есть искомое уравнение энергетического равновесия звезды.
При получении уравнения механического равновесия мы понимали под 𝑃 газовое давление. В дальнейшем будем понимать под 𝑃 сумму давлений: газового и светового. Иными словами, будем считать
𝑃
=
𝑃
𝐺
+
𝑃
𝑅
,
(35.47)
где
𝑃
𝐺
=
𝑅∗
μ
ρ𝑇
(35.48)
и
𝑃
𝑅
=
1
3
𝑎𝑇⁴
.
(35.49)
Если приведённые выражения для давлений подставить в уравнения (35.5) и (35.46), то мы получим систему двух уравнений для определения двух неизвестных функций от 𝑟: плотности ρ и температуры 𝑇. Входящие в эти уравнения величины ε, ϰ и μ должны считаться известными функциями от ρ и 𝑇.
5. Стандартная модель звезды.
До открытия ядерных реакций как источника звёздной энергии величина ε не была известна. Поэтому в теории внутреннего строения звёзд приходилось делать различные предположения относительно этой величины, в результате чего получались разные модели звёзд. Важную роль в теории сыграла модель, предложенная Эддингтоном. Её обычно называют стандартной моделью звезды.
В качестве уравнений механического и энергетического равновесия звезды возьмём уравнения (35.4) и (35.45). Поделив второе из этих уравнений на первое, получаем
𝑑𝑃𝑅
𝑑𝑃
=
ϰ𝐿𝑟
4π𝑐𝐺𝑀𝑟
.
(35.50)
Введём обозначение
𝐿𝑟
𝑀𝑟
=
η
𝐿
𝑀
.
(35.51)
Подставляя (35.51) в (35.50), имеем
𝑑𝑃𝑅
𝑑𝑃
=
ϰη
4π𝑐𝐺
𝐿
𝑀
.
(35.52)
Эддингтон сделал предположение, что внутри звезды
ϰη
=
const
.
(35.53)
При таком предположении вся правая часть уравнения (35.52) будет постоянной. Поэтому, обозначив
ϰη
4π𝑐𝐺
𝐿
𝑀
=
1-β
.
(35.54)
из (35.47) находим
𝑃
𝑅
=
(1-β)
𝑃
,
(35.55)
а значит,
𝑃
𝐺
=
β𝑃
.
(35.56)
Мы видим, что при выполнении предположения (35.53) отношение газового давления к световому не меняется в звезде.
Из формул (35.48), (35.49), (35.55) и (35.56) следует
(1-β)
𝑃
=
1
3
𝑎𝑇⁴
,
β𝑃
=
𝑅∗
μ
ρ𝑇
.
(35.57)
Исключая из этих соотношений 𝑇, получаем
𝑃
=
𝐶ρ⁴
/
³
,
(35.58)
где
𝐶
=
⎡
⎢
⎣
3(1-β)𝑅∗⁴
αβ⁴μ⁴
⎤¹/₃
⎥
⎦
.
(35.59)
Если считать, что средний молекулярный вес μ постоянен в звезде, то величина 𝐶 также будет постоянной. Поэтому уравнение (35.58) будет представлять собой политропную зависимость между 𝑃 и ρ при 𝑘=⁴/₃. Иными словами, стандартная модель звезды оказывается политропным шаром 𝑛=3. Следовательно, распределение плотности, давления и температуры в стандартной модели даётся приведёнными выше формулами, основанными на решении уравнения Эмдена. В частности, сделанные выше оценки плотности и температуры в центре Солнца при 𝑛=3 соответствуют стандартной модели.
Ранее для политропного шара формулой (35.24) была определена постоянная 𝐶 в зависимости от 𝑀, 𝑅 и 𝑛. Теперь, пользуясь этой формулой, мы можем найти величину р внутри звезды. Приравнивая друг другу выражения для 𝐶, даваемые формулой (35.24) при 𝑛=3 и формулой (35.59), получаем, что величина β определяется уравнением
1-β
=
𝐶₁
μ⁴
𝑀²
β⁴
,
(35.60)
где
𝐶₁
=
π𝐺³𝑎
48𝑅∗⁴[𝑥₁²𝑦'(𝑥₁)]²
.
(35.61)
Из уравнения (35.60) видно, что доля светового давления 1-β растёт вместе с массой звезды (β=1, когда 𝑀=0, и β=0, когда 𝑀=∞).
Таблица 56
Характеристики звёзд
согласно «стандартной модели»
Звезда
𝑀/𝑀
☉
𝑅/𝑅
☉
𝐿/𝐿
☉
1-β
ρ
𝑐
𝑇
𝑐
Солнце
1,00
1
,00
1
,00
0,003
76
,5
20
⋅
