𝐴
(36.8)
Пусть 𝑋 — весовая доля водорода, 𝑌 — весовая доля гелия и 1-𝑋-𝑌 — весовая доля других элементов. Тогда вместо (36.8) получаем
μ
=
1
,
2𝑋
+
3
𝑌
+
1
(1-𝑋-𝑌)
4
2
(36.9)
или
μ
=
1
6𝑋+𝑌+2
.
(36.10)
Как уже сказано, формула (36.10) справедлива только при полной ионизации атомов в данном месте звезды. Если ионизацию нельзя считать полной, то в формуле (36.8) вместо 𝑌 следует написать число оторванных от атома электронов. Это число может быть определено при помощи формулы ионизации (36.1).
2. Вырождение газа.
При углублении в звезду вместе с температурой увеличивается и плотность. Особенно сильное возрастание плотности происходит во внешних слоях звёзд с большим ускорением силы тяжести на поверхности (в частности, у белых карликов). В этих случаях внутри звёзд могут существовать области, в которых газ является вырожденным, т.е. не подчиняющимся законам, вытекающим из классической статистики. Поэтому наряду с уравнением состояния (36.4) нам следует также иметь уравнение состояния вырожденного газа.
Рассмотрим газ, состоящий из свободных электронов. Как известно, такой газ подчиняется статистике Ферми — Дирака, справедливой для частиц, обладающих двумя свойствами: 1) частицы являются неразличимыми, 2) в каждой ячейке фазового пространства не может находиться более двух частиц. Согласно указанной статистике число свободных электронов с импульсами от 𝑝 до 𝑝+𝑑𝑝 даётся формулой
𝑑𝑛
𝑒
=
8π𝑝²𝑑𝑝
1
,
ℎ³
𝐷
exp
⎛
⎜
⎝
𝑝²
⎞
⎟
⎠
+1
2𝑚𝑘𝑇
(36.11)
в которой величина 𝐷 определяется из того условия, что задано полное число свободных электронов в единице объёма, т.е.
𝑛
𝑒
=
8π
∞
∫
0
𝑝²𝑑𝑝
.
ℎ³
𝐷
exp
⎛
⎜
⎝
𝑝²
⎞
⎟
⎠
+1
2𝑚𝑘𝑇
(36.12)
Чтобы получить уравнение состояния электронного газа, надо написать выражение для давления. Если скорости частиц малы по сравнению со скоростью света, то мы имеем
𝑃
𝑒
=
2
3
∫
𝑝²
2𝑚
𝑑𝑛
𝑒
,
(36.13)
или, на основании (36.11),
𝑃
𝑒
=
8π
∞
∫
0
𝑝⁴𝑑𝑝
.
3𝑚ℎ³
𝐷
exp
⎛
⎜
⎝
𝑝²
⎞
⎟
⎠
+1
2𝑚𝑘𝑇
(36.14)
Из соотношений (36.12) и (36.14) путём исключения величины 𝐷 можно получить зависимость между 𝑃𝑒, 𝑛𝑒 и 𝑇, т.е. искомое уравнение состояния газа.
Предположим сначала, что 𝐷≫1. Тогда из соотношений (36.12) и (36.14) находим
𝑛
𝑒
=
2(2π𝑚𝑘𝑇)³/²
ℎ³𝐷
⎛
⎜
⎝
1-
1
2³/²𝐷
+…
⎞
⎟
⎠
,
(36.15)
𝑃
𝑒
=
2(2π𝑚𝑘𝑇)³/²
ℎ³𝐷
𝑘𝑇
⎛
⎜
⎝
1-
1
2⁵/²𝐷
+…
⎞
⎟
⎠
.
(36.16)
Отсюда приближённо следует:
𝑃
𝑒
=
𝑛
𝑒
𝑘𝑇
⎛
⎜
⎝
1-
1
2⁵/²𝐷
+…
⎞
⎟
⎠
(36.17)
и
𝐷
=
2(2π𝑚𝑘𝑇)³/²
ℎ³𝑛𝑒
.
(36.18)
Мы видим, что уравнение состояния (36.17) мало отличается от уравнения состояния обычного идеального газа. Следовательно, в рассматриваемом случае газ слабо вырожден. Если величина 𝐷 очень велика, то вырождением можно пренебречь. Это соответствует пренебрежению единицей в знаменателе формулы (36.11) и означает переход квантовой статистики в классическую.
Если же величина 𝐷 мала, т.е.
2(2π𝑚𝑘𝑇)³/²
ℎ³𝑛𝑒
≪
1,
(36.19)
то газ будет сильно вырожденным. При этом вырождение будет тем сильнее, чем меньше температура и больше плотность.
Для численных оценок надо иметь в виду, что 𝐷=5⋅10¹⁵ 𝑇³/²/𝑛𝑒 и газ является сильно вырожденным, когда 𝐷≪1. Так как внутри звёзд температуры очень высоки, то это неравенство осуществляется лишь при очень больших плотностях. Например, при 𝑇≈10⁷ кельвинов должно быть 𝑛𝑒≫10²⁶ см⁻³.
Уравнение состояния сильно вырожденного электронного газа также может быть получено из соотношений (36.12) и (36.14). Предположим сначала, что 𝑇=0. В этом случае согласно классической статистике все частицы находятся в ячейке фазового пространства с импульсом 𝑝=0 и, следовательно, давление газа равно нулю. Однако в действительности электроны подчиняются принципу Паули, не допускающему присутствия более двух частиц в каждой ячейке. Поэтому при 𝑇=0 электроны занимают все ячейки с импульсами от 𝑝=0 до некоторого 𝑝max, а давление газа отлично от нуля.
В данном случае вместо (36.11) имеем
𝑑𝑛
𝑒
=
8π𝑝²𝑑𝑝
ℎ³
(36.20)
и из соотношений (36.12) и (36.14) находим:
𝑛
𝑒
=
8π
ℎ³
𝑝max
∫
0
𝑝²
𝑑𝑝
=
8π
3ℎ³
𝑝
max
³
,
(36.21)
𝑃
𝑒
=
8π
3𝑚ℎ³
𝑝max
∫
0
𝑝⁴
𝑑𝑝
=
8π
15𝑚ℎ³
𝑝
max
⁵
.
(36.22)
Подстановка 𝑝max из (36.21) в (36.22) даёт
𝑃
𝑒
=
1
10
⎛
⎜
⎝
3
π
⎞²/₃
⎟
⎠
ℎ²
𝑚
𝑛
𝑒
⁵
/
³
.
