Уравнения (32.26) и (32.31) при любом оптическом радиусе туманности τ₀ и при произвольной индикатрисе рассеяния 𝑥(γ) могут быть решены приближённым методом. В этом случае величина 𝑆(τ,θ) представляется в виде

𝑆(τ,θ)

=

λ𝑥(θ)

𝐴

τ²

𝑒

^-τ

+

Δ

𝑆(τ,θ,𝑥₁,λ,τ₀)

,

(32.38)

где рассеяние первого порядка учитывается точно, а рассеяние высших порядков — приближённо. При этом величина Δ𝑆 зависит не от всей индикатрисы рассеяния, а только от параметра 𝑥₁ представляющего собой первый коэффициент в разложении 𝑥(γ) по полиномам Лежандра.

Рис. 44

Если функция 𝑆(τ,θ) известна, то можно легко найти распределение яркости по диску туманности (рис. 44). Обозначим через 𝐼(ρ) интенсивность излучения, выходящего из туманности на расстоянии ρ от центра диска (в прежних обозначениях это есть 𝐼(τ₀,θ₀))). Как следует из уравнения переноса излучения, величина 𝐼(ρ) равна

𝐼(ρ)

=

𝑠₀

∫

-𝑠₀

𝑆(τ,θ)

𝑒

^{-α(𝑠₀-𝑠)}

α

𝑑𝑠

,

(32.39)

где 𝑠₀=√𝑟₀²-ρ². Переходя здесь к новой переменной интегрирования θ посредством соотношений τ=αρ/sin θ и 𝑠=ρ ctg θ, получаем

𝐼(ρ)

=

π-θ₀

∫

θ₀

𝑆

⎛

⎜

⎝

σρ

sin θ

,θ

⎞

⎟

⎠

×

×

exp

⎛

⎝

-α

√

𝑟₀²-ρ²

ctg

θ

⎞

⎠

αρ 𝑑θ

sin²θ

,

(32.40)

где sin θ₀=ρ/𝑟₀.

Знание величины 𝐼(ρ) даёт возможность вычислить светимость туманности, которая, очевидно, равна

𝐿

_𝑛

=

4π⋅2π

𝑟₀

∫

0

𝐼(ρ)

ρ

𝑑ρ

.

(32.41)

Для отношения светимости туманности 𝐿_𝑛 к наблюдаемой светимости звезды 𝐿_∗ находим

8π²

𝑟₀

∫

0

𝐼(ρ)

ρ

𝑑ρ

𝐿

_𝑛

=

.

𝐿

_∗

𝐿𝑒

^-τ₀

(32.42)

Теоретические значения величин 𝐼(ρ) и 𝐿_𝑛/𝐿_∗ могут быть сравнены с результатами наблюдений. Путём такого сравнения можно пытаться определить оптические свойства туманности, т.е. величины τ₀, λ и 𝑥(γ).

Особенно просто получаются некоторые сведения об указанных величинах в тех случаях, когда оптический радиус туманности мал (τ₀≪1). В этом случае функция 𝑆(τ,θ) определяется формулой

𝑆(τ,θ)

=

λ𝐿

16π²𝑟²

𝑥(θ)

(32.43)

и вместо соотношения (32.40) находим

𝐼(ρ)

=

λ𝐿α

16π²ρ

π-θ₀

∫

θ₀

𝑥(θ)

𝑑θ

.

(32.44)

Отсюда следует:

𝑑𝐼(ρ) ρ

𝑑ρ

=-

λ𝐿α

16π²√𝑟₀²-ρ²

⎡

⎣

𝑥(θ₀)

+

𝑥(π-θ₀)

⎤

⎦

.

(32.45)

Мы видим, что из формулы (32.45) нельзя найти полностью индикатрису рассеяния 𝑥(θ), а можно получить лишь сумму 𝑥(θ)+𝑥(π-θ). Однако в случае рассеяния света пылевыми частицами доля света, рассеянного вперёд, обычно гораздо больше доли света, рассеянного назад. Следовательно, и по этой сумме можно получить более или менее правильное представление об индикатрисе рассеяния.

Чтобы при τ₀≪1 определить величину 𝐿_𝑛/𝐿_∗, надо подставить в формулу (32.42) выражение (32.44). Делая это и производя интегрирование, находим

𝐿_𝑛

𝐿_∗

=

λτ₀

(32.46)

Эта формула совершенно очевидна, так как при τ₀≪1 количество энергии, поглощённое туманностью, равно 𝐿(1-𝑒^-τ₀)≈𝐿τ₀, а из этой энергии туманность рассеивает долю λ.

Применение формул (32.45) и (32.46) к определению оптических свойств пылевых туманностей было произведено И. Н. Мининым. Полученные им значения величины 𝑥(γ)+𝑥(π-γ) для туманностей IC 431 и IC 435 приведены в табл. 51. Здесь использована обычная нормировка индикатрисы рассеяния, т.е.

∫

𝑥(γ)

𝑑ω

4π

=

1

.

Числа в скобках найдены путём экстраполяции.

Таблица 51

Значения величины 𝑥(γ)+𝑥(π-γ)

для двух туманностей

γ

IC 431

IC 435

0

(35)

(8,4)

10

14

7,3

20

3,7

6,4

30

2,4

3,8

40

2,2

2,5

50

1,4

1,4

60

1,1

0,96

70

0,82

0,79

80

0,75

0,73

90

(0,69)

(0,70)

Для тех же туманностей были получены также значения величины λτ₀ по формуле (32.46). Они оказались равными 0,063 и 0,16 соответственно. Так как τ₀=α𝑟₀, а λα представляет собой объёмный коэффициент рассеяния σ, то мы имеем λτ₀=σ𝑟₀. При помощи этого соотношения для указанных туманностей была определена величина σ по значениям величины λτ₀ и радиуса туманности 𝑟₀.

Как показывают наблюдения, туманности с изофотами, близкими к окружностям, составляют довольно значительную долю светящихся диффузных туманностей. Однако трудно думать, что каждая из них представляет собой приблизительно сферическую туманность с находящейся в её центре звездой. По-видимому, большинство таких туманностей является просто освещёнными частями более обширных туманностей. Очевидно, что освещённая часть будет приблизительно сферической даже в случае бесформенной туманности, если её оптическая толщина по порядку превосходит единицу и плотность вещества в ней не сильно меняется. При определении функции 𝑆(τ,θ) для этих туманностей можно приближённо принять τ₀=∞, что ведёт к значительному упрощению вычислений.

4. Природа пылевых частиц.

Как было показано выше, изучение свечения пылевых туманностей даёт возможность определить некоторые величины, характеризующие их оптические свойства: объёмный коэффициент поглощения α, альбедо частицы λ и индикатрису рассеяния 𝑥(γ). В свою очередь знание этих величин позволяет сделать попытку решить вопросы о форме, размерах и концентрации пылевых частиц, а также о природе вещества, из которого они состоят.

Для решения этих вопросов используются результаты теории рассеяния света на отдельных частицах (см.,например, [2]). К настоящему времени выполнены многочисленные расчёты величин α, λ и 𝑥(γ) для частиц разной формы (шаров, цилиндров, дисков) и с различными показателями преломления. Вообще говоря, показатель преломления представляется в комплексной форме. Для диэлектрических частиц мнимая часть показателя преломления равна нулю, для металлических частиц она отлична от нуля. В первом случае частицы производят чистое рассеяние излучения λ=1, во втором случае — как рассеяние, так и истинное поглощение λ<1