Рассмотрим процесс многократного рассеяния света в туманности. Искомую интенсивность диффузного излучения обозначим через 𝐼. Она зависит как от расстояния 𝑟 от звезды, таки от угла θ между направлением излучения и радиусом-вектором. Уравнение переноса излучения, служащее для определения величины 𝐼, в случае сферической симметрии имеет вид
cos θ
∂𝐼
∂𝑟
-
sin θ
𝑟
∂𝐼
∂θ
=-
α𝐼
+
ε
,
(32.25)
где ε — объёмный коэффициент излучения. Вводя обозначения τ=α𝑟 и ε=α𝑆, вместо уравнения (32.25) получаем
cos θ
∂𝐼(τ,θ)
∂τ
-
sin θ
τ
∂𝐼(τ,θ)
∂θ
=-
𝐼(τ,θ)
+
𝑆(τ,θ)
.
(32.26)
Величина 𝑆 обусловлена рассеянием света, приходящим в данный объём как от звезды, так и от туманности. Она может быть представлена в виде
𝑆
=
λ
∫
𝐼𝑥(γ)
𝑑ω
4π
+
λ𝑥(θ)𝐿
16π²𝑟²
𝑒⁻
τ
,
(32.27)
где интегрирование производится по всем направлениям. Считая, что направление излучения в данном месте характеризуется полярным углом θ и азимутом φ, мы получаем
cos
γ
=
cos
θ
cos
θ'
+
sin
θ
sin
θ'
cos(φ-φ')
(32.28)
и 𝑑ω=sin θ' 𝑑θ' 𝑑φ'. Обозначая
1
2π
2π
∫
0
𝑥(γ)
𝑑φ
=
𝑝(θ,θ')
(32.29)
и
𝐿α²
16π²
=
𝐴
,
(32.30)
вместо уравнения (32.27) находим
𝑆(τ,θ)
=
λ
2
π
∫
0
𝐼(τ,θ')
𝑝(τ,θ')
sin
θ'
+
λ𝑥(θ)
𝐴
τ²
𝑒⁻
τ
.
(32.31)
Таким образом, для определения искомых функций 𝑆(τ,θ) и 𝐼(τ,θ) мы имеем уравнения (32.26) и (32.31). К ним надо ещё добавить граничное условие, выражающее собой тот факт, что нет излучения, падающего на туманность извне.
Из уравнений (32.26) и (32.31) мы можем получить интегральное уравнение, определяющее функцию 𝑆(τ,θ). Для этого надо найти величину 𝐼(τ,θ) из уравнения (32.26) и подставить её в уравнение (32.31).
В случае сферической индикатрисы рассеяния, т.е. при 𝑥(γ)=1, величина 𝑆 зависит только от τ. В данном случае упомянутое интегральное уравнение получается в виде
τ𝑆(τ)
=
λ
2
τ₀
∫
0
⎡
⎣
𝐸₁|τ-τ'|
-
𝐸₁|τ+τ'|
⎤
⎦
×
×
𝑆(τ')τ'
𝑑τ'
+
λ𝐴
τ
𝑒⁻
τ
,
(32.32)
где τ₀=α𝑟₀ — оптический радиус туманности.
При τ₀=∞ легко найти точное решение уравнения (32.32). Вводя функцию
𝑈(τ)
=
∞
∫
τ
𝑆(τ)τ
𝑑τ
,
(32.33)
мы для её решения получаем уравнение
𝑈(τ)
=
λ
2
τ₀
∫
0
⎡
⎣
𝐸₁|τ-τ'|
-
𝐸₁|τ+τ'|
⎤
⎦
×
×
𝑈(τ')τ'
𝑑τ'
+
λ𝐴𝐸₁τ
.
(32.34)
Обозначая через Γ(τ,τ') резольвенту уравнения (32.34) и полагая Γ(τ,0)=Φ(τ), мы видим, что 𝑈(τ)=𝐴Φ(τ), а значит,
𝑆(τ)
=-
𝐴
τ
Φ'(τ)
.
(32.35)
Что же касается функции Φ(τ), то она была определена ранее формулой (27.21). Пользуясь этой формулой, находим
𝑆(τ)
=
𝐴
⎧
⎨
⎩
4λ
∞
∫
1
𝑥²𝑒
-𝑥τ
𝑑𝑥
+
τ
(λπ)²
+
⎛
⎜
⎝
2𝑥
+
λ
ln
𝑥-1
⎞
⎟
⎠
²
𝑥+1
+
2𝑘²(1-𝑘²)
𝑒
-𝑘τ
⎫
⎬
⎭
,
λ+𝑘²-1
(32.36)
где величина 𝑘 связана с λ уравнением
λ
2𝑘
ln
1+𝑘
1-𝑘
=
1
.
Функция 𝑆(τ) включает в себя в виде слагаемого величину
𝑆₁(τ)
=
λ𝐴
τ²
𝑒
-τ
(32.37)
представляющую собой функцию 𝑆(τ), обусловленную рассеянием первого порядка. В табл. 50 приведены значения отношения 𝑆(τ)/𝑆₁(τ), вычисленные при помощи формул (32.36) и (32.37) для разных значений альбедо частицы λ.
Таблица 50
Значения величины 𝑆(τ)/𝑆₁(τ)
τ
λ
0,3
0,5
0,7
0,9
1,0
0
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
0,1
1,07
1,12
1,17
1,24
1,29
0,2
1,12
1,23
1,35
1,51
1,65
0,4
1,22
1,43
1,70
2,14
2,66
0,6
1,31
1,62
2,08
2,90
4,11
0,8
1,40
1,82
2,49
3,81
6,13
1,0
1,47
2,00
2,92
4,89
8,92
1,5
1,65
2,47
4,11
8,50
20,90
2,0
1,80
2,94
5,50
13,80
45,00
2,5
1,95
3,42
7,11
21,40
92,00
3,0
2,08
3,91
8,98
32,10
181,00
Таблица ясно показывает, какова роль рассеяний высших порядков при разных λ. При каждом λ вокруг звезды существует область, в которой рассеяния высших порядков играют меньшую роль, чем однократное рассеяние, но вне этой области положение обратное. Размеры упомянутой области тем больше, чем меньше λ. Однако надо иметь в виду, что в реальных туманностях величина τ₀ конечная, а индикатриса рассеяния отличается от сферической. Поэтому результаты, приведённые в табл. 50, по отношению к туманностям носят лишь иллюстративный характер.
