𝑛
𝑖
⎛
⎜
⎝
𝑖-1
∑
𝑘=1
𝐴
𝑖𝑘
β
𝑘𝑖
+
𝐵
𝑖𝑐
ρ
𝑖𝑐
⎞
⎟
⎠
=
∞
∑
𝑘=𝑖+1
𝑛
𝑘
𝐴
𝑘𝑖
β
𝑖𝑘
+
+
𝑛
𝑒
𝑛⁺
𝐶
𝑖
(𝑇
𝑒
)
,
(28.18)
где 𝑛𝑖𝐵𝑘𝑐ρ𝑖𝑐 — число ионизаций из 𝑖-го состояния. Величины ρ𝑖𝑐 считаются известными и равными
ρ
𝑖𝑐
=
𝑊
ρ
𝑖𝑐
⃰
(28.19)
где ρ𝑖𝑐⃰ — плотность излучения за границей 𝑖-й серии в атмосфере звезды и 𝑊 — коэффициент дилюции излучения.
При определении величин β𝑖𝑘 как и раньше, примем, что как коэффициент поглощения α𝑖𝑘 так и коэффициент излучения ε𝑖𝑘 в линии частоты ν𝑖𝑘 отличны от нуля и постоянны в интервале
Δ
ν
𝑖𝑘
=
2
𝑢
𝑐
ν
𝑖𝑘
и равны нулю вне этого интервала. Кроме того, допустим, что область оболочки, в которой поглощается излучение в данной линии, сравнительно невелика (вследствие большого градиента скорости), так что плотность вещества и градиент скорости в этой области можно считать постоянными.
Рассмотрим излучение в линии частоты ν𝑖𝑘, выходящее из некоторого элементарного объёма в направлении 𝑠 внутри телесного угла 𝑑ω. На пути от 𝑠 до 𝑠+𝑑𝑠 будет поглощена следующая доля излучённых квантов:
𝑒
-α𝑖𝑘𝑠
⎛
⎜
⎝
1
-
|ν𝑖𝑘́ - ν𝑖𝑘|
Δν𝑖𝑘
⎞
⎟
⎠
α
𝑖𝑘
𝑑𝑠
,
(28.20)
где множитель 𝑒-α𝑖𝑘𝑠 учитывает поглощение излучения на пути от нуля до 𝑠, а множитель
1
-
|ν𝑖𝑘́ - ν𝑖𝑘|
Δν𝑖𝑘
— изменение частоты
излучения вследствие эффекта Доплера. При этом
ν
𝑖𝑘
́ - ν
𝑖𝑘
=
ν𝑖𝑘
𝑐
∂𝑣𝑠
∂𝑠
𝑠
.
(28.21)
Доля квантов, поглощённых на всем их пути в оболочке, будет равна
𝑠₁
∫
0
𝑒
-α𝑖𝑘𝑠
⎡
⎢
⎣
1
-
1
2𝑢
⎪
⎪
⎪
∂𝑣𝑠
∂𝑠
⎪
⎪
⎪
⋅
𝑠
⎤
⎥
⎦
α
𝑖𝑘
𝑑𝑠
,
(28.22)
где величина 𝑠₁ определяется из условия
1
2𝑢
⎪
⎪
⎪
∂𝑣𝑠
∂𝑠
⎪
⎪
⎪
⋅
𝑠₁
=
1
.
(28.23)
Умножая выражение (28.22) на 𝑑ω/4π и интегрируя по всем телесным углам, мы получаем долю квантов, поглощённых в оболочке, из общего числа квантов, излучённых данным объёмом. При принятых обозначениях эта доля равна 1-β𝑖𝑘 Поэтому для величины β𝑖𝑘 находим
β
𝑖𝑘
=
∫
⎡
⎢
⎣
1
-
exp
⎛
⎜
⎝
-
1
β𝑖𝑘⁰
⎞
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
β
𝑖𝑘
⁰
𝑑ω
4π
,
(28.24)
где обозначено
β
𝑖𝑘
⁰
=
1
2𝑢α𝑖𝑘
⎪
⎪
⎪
∂𝑣𝑠
∂𝑠
⎪
⎪
⎪
.
(28.25)
Если оболочка в данном месте непрозрачна во всех направлениях (т.е. β𝑖𝑘⁰≪1 то величина β𝑖𝑘 равна величине β𝑖𝑘⁰ усреднённой по направлениям. Если же оболочка в данном месте прозрачна во всех направлениях (т.е. β𝑖𝑘⁰≫1), то, как это и должно быть, β𝑖𝑘=1.
Таким образом, для нахождения величин 𝑛𝑖, мы получили систему уравнений (28.18), в которой величины β𝑖𝑘 определены соотношениями (28.24). Входящие в эти соотношения величины β𝑖𝑘⁰ как видно из формул (28.5) и (28.10), выражаются через величину β₁₂⁰ и населённости уровней атомов.
Если уравнения (28.18) решены для разных частей оболочки, то мы можем определить полное количество энергии, излучаемое оболочкой в любой спектральной линии. Для этого служит следующая формула:
𝐸
𝑘𝑖
=
𝐴
𝑘𝑖
ℎν
𝑖𝑘
∫
𝑛
𝑘
β
𝑖𝑘
𝑑𝑉
,
(28.26)
где интегрирование производится по всему объёму оболочки. Для прозрачной оболочки β𝑖𝑘 и формула (28.26) переходит в формулу (24.8) предыдущей главы.
Система уравнений (28.18) может быть решена численно. Для этого надо задать значения четырёх параметров: температуры звезды 𝑇∗ (от которой зависят ρ𝑖𝑐⃰), электронной температуры 𝑇𝑒 (от неё зависят 𝐶𝑖), коэффициента дилюции 𝑊 и величины β₁₂. В табл. 43 в виде примера приведены значения бальмеровского декремента, найденные при 𝑇∗=20 000 K, 𝑇𝑒=20 000 K, β₁₂=0,001 и при двух значениях коэффициента дилюции: 𝑊=0,01 (случай I) и 𝑊=0,1 (случай II).
Таблица 43
Теоретический бальмеровский декремент
в спектрах движущихся оболочек звёзд
Линия
Случай
I
Случай
II
Случай
туман-
ностей
𝙷
α
1,61
0,97
2,97
𝙷
β
1,00
1,00
1,00
𝙷
γ
0,44
0,80
0,49
𝙷
δ
0,24
0,50
0,28
𝙷
ε
0,15
0,32
0,18
В той же таблице даны для сравнения значения бальмеровского декремента для случая прозрачных оболочек (например, туманностей) при 𝑇𝑒=20 000 K. Они получены путём решения системы уравнений (28.17), являющейся частным случаем системы уравнений (28.18) при β₁𝑘, β𝑖𝑘=1 (𝑖=2, 3, 4, …) и при пренебрежении ионизацией из возбуждённых состояний.
