ε
𝑖ν
=
α
𝑖ν
2ℎν³
𝑐²
1
𝑒ℎν/(𝑘𝑇)-1
.
(26.1)
Представим объёмный коэффициент поглощения в виде α𝑖ν=𝑛𝑖𝑘𝑖ν, где 𝑛𝑖 — число атомов в 𝑖-м состоянии в 1 см³ и 𝑘𝑖ν — коэффициент поглощения, рассчитанный на один атом. При термодинамическом равновесии величина 𝑛𝑖 выражается через концентрацию ионов 𝑛⁺ и концентрацию свободных электронов 𝑛𝑒 формулой (5.7), вытекающей из формул Больцмана и Саха. Что же касается коэффициента поглощения 𝑘𝑖ν то для водорода он даётся формулой (5.6) (в которую надо ещё ввести множитель 1-𝑒ℎν/(𝑘𝑇) для учёта отрицательного поглощения). Пользуясь указанными формулами, из (26.1) получаем
ε
𝑖ν
=
𝑛
𝑒
𝑛⁺
2⁷π⁴
(6π)³/²
𝑒¹⁰
𝑚²𝑐³ℎ²
⎛
⎜
⎝
𝑚
𝑘𝑇
⎞³/₂
⎟
⎠
𝑔𝑖ν
𝑖³
exp
⎛
⎜
⎝
χ𝑖-ℎν
𝑘𝑇
⎞
⎟
⎠
,
(26.2)
где ℎν>χ𝑖 Эта формула верна всегда, когда скорости свободных электронов распределены по закону Максвелла с температурой 𝑇.
При помощи формулы (26.2) мы можем, между прочим, найти полное число рекомбинаций на 𝑖-й уровень. Это число равно
𝑛
𝑒
𝑛⁺
𝐶
𝑖
=
4π
∞
∫
ν𝑖
ε𝑖ν
ℎν
𝑑ν
.
(26.3)
При 𝑔𝑖ν отсюда получается выражение (23.7) для коэффициента рекомбинации 𝐶𝑖.
Объёмный коэффициент излучения, обусловленный рекомбинациями на все уровни, очевидно, равен
ε
ν
'
=
𝑛
𝑒
𝑛⁺
2⁷π⁴
(6π)³/²
𝑒¹⁰
𝑚²𝑐³ℎ²
⎛
⎜
⎝
𝑚
𝑘𝑇
⎞³/₂
⎟
⎠
×
×
∞
∑
𝑖=𝑗
𝑔𝑖ν
𝑖³
exp
⎛
⎜
⎝
χ𝑖-ℎν
𝑘𝑇
⎞
⎟
⎠
.
(26.4)
Здесь надо считать, что 𝑗=1 за границей лаймановской серии, 𝑗=2 от границы бальмеровской серии до границы лаймановской серии и т.д.
Аналогично можно найти объёмный коэффициент излучения εν'', обусловленный свободно-свободными переходами. Пользуясь выражением (5.10) для объёмного коэффициента поглощения αν'' и законом Кирхгофа — Планка, получаем
ε
ν
''
=
𝑛
𝑒
𝑛⁺
2⁵π²
(6π)³/²
𝑒⁶
𝑚²𝑐³
⎛
⎜
⎝
𝑚
𝑘𝑇
⎞¹/₂
⎟
⎠
𝑔
ν
exp
⎛
⎜
⎝
-
ℎν
𝑘𝑇
⎞
⎟
⎠
.
(26.5)
Суммируя выражения (26.4) и (26.5), приходим к следующей формуле для объёмного коэффициента излучения, обусловленного как рекомбинациями, так и свободно-свободными переходами:
ε
ν
=
𝑛
𝑒
𝑛⁺
2⁵π²
(6π)³/²
𝑒⁶
𝑚²𝑐³
⎛
⎜
⎝
𝑚
𝑘𝑇𝑒
⎞¹/₂
⎟
⎠
×
×
⎡
⎢
⎣
𝑔
ν
+2
χ₁
𝑘𝑇𝑒
∞
∑
𝑖=𝑗
𝑔𝑖ν
𝑖³
exp
⎛
⎜
⎝
χ𝑖
𝑘𝑇𝑒
⎞
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
exp
⎛
⎜
⎝
-
ℎν
𝑘𝑇𝑒
⎞
⎟
⎠
.
(26.6)
Имея в виду применение этой формулы к газовым туманностям, мы заменили в ней температуру 𝑇 на электронную температуру туманности 𝑇𝑒.
Распределение энергии в непрерывном спектре, даваемое формулой (26.6), характеризуется той особенностью, что у пределов серий интенсивность излучения скачком возрастает при переходе от меньших частот к большим. Объясняется это появлением нового слагаемого в формуле (26.6), обусловленного рекомбинациями на более низкий уровень.
Как видно из формулы (26.6), излучение в видимой области непрерывного спектра примерно в равной мере обусловлено рекомбинациями и свободно-свободными переходами (при 𝑇𝑒≈10 000 K). С другой стороны, как мы знаем из §22, каждая рекомбинация на третий и более высокие уровни обязательно приводит к появлению одного кванта в бальмеровских линиях. Следовательно, число квантов в бальмеровских линиях должно быть по порядку величины равно числу квантов в непрерывном спектре. Но излучение в линиях сосредоточено в очень узких интервалах частот. Поэтому рассматриваемый непрерывный спектр должен играть роль лишь слабого фона для эмиссионных линий. Найдём для примера отношение числа квантов в линии 𝙷β к числу квантов в бальмеровской континууме. Очевидно, что это отношение равно
𝑛₄𝐴₄₂
𝑛𝑒𝑛⁺𝐶₂(𝑇𝑒)
=
𝑧₄
𝐴₄₂
𝐶₂(𝑇𝑒)
,
и, как показывают подсчёты, оно порядка единицы. Таким образом, в одной линии 𝙷β излучается примерно столько квантов, сколько во всем бальмеровском континууме.
Изложенная теория качественно согласуется с результатами наблюдений. Как известно, непрерывный спектр газовых туманностей действительно весьма слаб. Вместе с тем наблюдается скачок интенсивности у предела бальмеровской серии, характерный для рекомбинационных спектров. Однако количественное согласие между теорией и наблюдениями отсутствует.
Из формулы (26.6) видно, что теоретическое распределение энергии в непрерывном спектре следует закону
𝐻
ν
~
exp
⎛
⎜
⎝
-
ℎν
𝑘𝑇𝑒
⎞
⎟
⎠
.
(26.7)
Подставляя это выражение для потока излучения 𝐻ν в соотношение (6.18), получаем следующую зависимость между спектрофотометрической температурой 𝑇𝑐 и электронной температурой 𝑇𝑒:
