exp
⎛
⎜
⎝
-
ℎν𝑖𝑗
𝑘𝑇𝑒
⎞
⎟
⎠
.
(25.10)
Для величины 𝑎𝑗𝑖 находим
𝑎
𝑗𝑖
=
8,54⋅10⁻⁶
𝑛𝑒
√𝑇𝑒
Ω(𝑖,𝑗)
𝑔𝑗
(25.11)
Значения величины Ω(𝑖,𝑗) для ряда ионов были вычислены Ситоном. Часть полученных им результатов приведена в табл. 37.
Таблица 37
Эффективные поперечные сечения
для столкновений
Конфигу-
рация
Ион
Ω
(1,2)
Ω
(1,3)
Ω
(2,3)
2𝑝²
𝙽
II
2,39
0,223
0,46
𝙾
III
1,73
0,195
0,61
𝙵
IV
(1,21)
(0,172)
(0,58)
𝙽𝚎
V
(0,84)
(0,157)
0,53
2𝑝³
𝙾
II
1,44
0,218
1,92
𝙵
III
(1,00)
(0,221)
(3,11)
𝙽𝚎
IV
(0,68)
(0,234)
(3,51)
𝙽𝚊
V
0,43
(0,255)
(3,49)
2𝑝⁴
𝙵
II
(0,95)
(0,057)
0,17
𝙽𝚎
III
0,76
0,077
0,27
𝙽𝚊
IV
(0,61)
(0,092)
(0,30)
𝙼𝚐
V
0,54
(0,112)
(0,30)
Вычисленные значения величия Ω(𝑖,𝑗) отличаются от точных значений, по-видимому, не более чем на 40%, оценки (числа в скобках) — не более чем вдвое.
3. Интенсивности запрещённых линий.
Если нам известны вероятности столкновений, возбуждающих метастабильные состояния, и эйнштейновские коэффициенты вероятностей спонтанных переходов из этих состояний, то мы можем легко вычислить интенсивности запрещённых линий. Такие вычисления сильно упрощаются вследствие полной прозрачности туманностей для излучения в запрещённых линиях, обусловленной чрезвычайной малостью атомного коэффициента поглощения в этих линиях.
Для определения интенсивностей линий надо найти населённости энергетических уровней. Мы сейчас ограничимся рассмотрением только трёх нижних уровней атома. Как видно из рис. 32, в наиболее интересных случаях этого вполне достаточно.
Принимая во внимание переходы под действием соударений и спонтанные переходы, получаем следующие уравнения стационарности для второго и третьего состояний атома:
𝑛₂
(
𝐴₂₁
+
𝑎₂₁
+
𝑏₂₃
)=
𝑛₁
𝑏₁₂
(
𝐴₃₂
+
𝑎₃₂
),
⎫
⎬
⎭
𝑛₃
(
𝐴₃₁
+
𝐴₃₂
+
𝑎₃₁
+
𝑎₃₂
)=
𝑛₁
𝑏₁₃
+
𝑛₂
𝑏₂₃
.
(25.12)
Решая эти уравнения относительно величин 𝑛₂ и 𝑛₃, находим
𝑛₂
=
𝑛₁
(𝐴₃₁+𝐴₃₂+𝑎₃₁+𝑎₃₂)𝑏₁₂+(𝐴₃₂+𝑎₃₂)𝑏₁₃
(𝐴₃₁+𝐴₃₂+𝑎₃₁+𝑎₃₂)(𝐴₂₁+𝑎₂₁)+(𝐴₃₁+𝑎₃₁)𝑏₂₃
,
(25.13)
𝑛₃
=
𝑛₁
𝑏₁₃(𝐴₂₁+𝑎₂₁+𝑏₂₃)+𝑏₁₂𝑏₂₃
(𝐴₃₁+𝐴₃₂+𝑎₃₁+𝑎₃₂)(𝐴₂₁+𝑎₂₁)+(𝐴₃₁+𝑎₃₁)𝑏₂₃
.
(25.14)
Формулы (25.13) и (25.14) справедливы при любых концентрациях свободных электронов 𝑛𝑒 от которых зависят величины 𝑎𝑗𝑖 и 𝑏𝑖𝑗. В двух предельных случаях — при больших и малых значениях 𝑛𝑒 — эти формулы существенно упрощаются.
При больших значениях 𝑛𝑒 мы можем пренебречь спонтанными переходами по сравнению с переходами под действием столкновений. Легко видеть, что в этом случае, как и следовало ожидать, получается больцмановское распределение атомов по состояниям. Например, из формулы (25.13) при использовании соотношения (25.6) находим
𝑛₂
=
𝑛₁
(𝑎₃₁+𝑎₃₂)𝑏₁₂+𝑎₃₂𝑏₁₃
(𝑎₃₁+𝑎₃₂)𝑎₂₁+𝑎₃₁𝑏₂₃
=
𝑛₁
𝑔₂
𝑔₁
exp
⎛
⎜
⎝
-
ℎν₁₂
𝑘𝑇𝑒
⎞
⎟
⎠
.
(25.15)
При малых значениях 𝑛𝑒 мы можем пренебречь всеми переходами из возбуждённых состояний под действием столкновений по сравнению со спонтанными переходами. В данном случае формулы (25.13) и (25.14) принимают вид
𝑛₂
=
𝑛₁
𝐴₂₁
⎛
⎜
⎝
𝑏₁₂
+
𝐴₃₂
𝐴₃₁+𝐴₃₂
𝑏₁₃
⎞
⎟
⎠
,
(25.16)
𝑛₃
=
𝑛₁𝑏₁₃
𝐴₃₁+𝐴₃₂
(25.17)
В газовых туманностях (за некоторыми исключениями) осуществляется второй из рассмотренных случаев, т.е. населённости метастабильных состояний определяются формулами (25.16) и (25.17).
При помощи полученных выражений для населённостей уровней мы можем определить интенсивности запрещённых линий. Найдём, например, отношение интенсивностей линий, возникающих при переходах 2→1 и 3→2. Пользуясь формулами (25.13) и (25.14), получаем
𝐸₂₁
𝐸₃₂
=
𝑛₂𝐴₂₁ν₁₂
𝑛₃𝐴₃₂ν₃₂
=
ν₁₂𝐴₂₁
ν₂₃𝐴₃₂
×
×
(𝐴₃₁+𝐴₃₂+𝑎₃₁+𝑎₃₂)𝑏₁₂+(𝐴₃₂+𝑎₃₂)𝑏₁₃
𝑏₁₃(𝐴₂₁+𝑎₂₁+𝑏₂₃)+𝑏₁₂𝑏₂₃
.
(25.18)
При больших концентрациях свободных электронов из этой формулы следует
𝐸₂₁
𝐸₃₂
=
ν₁₂𝐴₂₁
ν₂₃𝐴₃₂
𝑔₂
𝑔₃
exp
⎛
⎜
⎝
ℎν₂₃
𝑘𝑇𝑒
⎞
⎟
⎠
.
(25.19)
При малых значениях 𝑛𝑒 формула (25.18) даёт
𝐸₂₁
𝐸₃₂
=
ν₁₂
ν₂₃
⎡
⎢
⎣
⎛
⎜
⎝
𝐴₃₁
𝐴₃₂
+1
⎞
⎟
⎠
𝑏₁₂
𝑏₁₃
+1
⎤
⎥
⎦
.
(25.20)
Найденные формулы для интенсивностей запрещённых линий будут применены в дальнейшем не только к газовым туманностям, но и к оболочкам новых звёзд.
Как уже говорилось, при малых значениях 𝑛𝑒 (и вместе с тем при малых значениях 𝑊) происходит сильное накопление атомов в метастабильных состояниях. Это хорошо видно из формул (25.16) и (25.17), согласно которым населённость возбуждённого уровня тем больше, чем меньше вероятности спонтанных переходов из него. Если бы мы считали переход из второго состояния вниз запрещённым, а переходы из третьего состояния разрешёнными, то число атомов во втором состоянии было бы гораздо больше, чем в третьем. Иными словами, населённость метастабильного уровня значительно превосходит населённость обычного уровня. Что же касается интенсивности запрещённой линии, то, как видно из формулы (25.20), она примерно такого же порядка, что и интенсивность разрешённой линии.
