𝐴₂₁
≫
𝑎₂₁
.
(25.3)
Величина 𝑎₂₁ может быть представлена в виде 𝑎₂₁=𝑛𝑒σ₂₁𝑣, где 𝑛𝑒 — концентрация свободных электронов, σ₂₁ — среднее эффективное сечение для ударов второго рода, 𝑣 — средняя скорость свободного электрона. Поэтому вместо (25.3) имеем
𝐴₂₁
≫
𝑛
𝑒
σ₂₁𝑣
.
(25.4)
Неравенства (25.2) и (25.4) выражают собой условия, необходимые для появления запрещённых линий, сравнимых по интенсивности с разрешёнными линиями.
В газовых туманностях величины 𝑊 и 𝑛𝑒 чрезвычайно малы. Вследствие этого неравенства (25.2) и (25.4) выполняются даже для линий с очень малыми значениями 𝐴₂₁ т.е. запрещённых очень сильными правилами отбора.
По наличию запрещённых линий в спектре туманности при помощи приведённых неравенств можно оценить верхние пределы величин 𝑊 и 𝑛𝑒. Например, для линии 𝙽₁ и 𝙽₂ на основании табл. 36 имеем 𝐴₂₁=0,028 с⁻¹. Далее при грубой оценке можно принять: σ₂₁≈10⁻¹⁶ см², 𝑣≈10⁸ см/с. Поэтому из неравенства (25.4) получаем, что в туманности 𝑛𝑒≪10⁶ см⁻³. Разумеется, линии 𝙽₁ и 𝙽₂ будут видны и при 𝑛𝑒≈10⁶ см⁻³, но в этом случае населённость второго уровня уже будет уменьшаться ударами второго рода. При 𝑛𝑒≫10⁶ см⁻³ удары второго рода будут «гасить» эти линии.
Как мы видели, условия в туманностях таковы, что атомы, попавшие в метастабильное состояние, могут находиться в нём очень долго (до спонтанного перехода вниз). Поэтому в метастабильных состояниях должно накопиться огромное число атомов. Очевидно, что этот процесс должен происходить не только в туманностях, но и в других объектах с малыми значениями величин 𝑊 и 𝑛𝑒
Подчеркнём, что только благодаря накоплению атомов в метастабильных состояниях и излучаются интенсивные запрещённые линии, так как интенсивность линии пропорциональна числу атомов в исходном состоянии и вероятности соответствующего спонтанного перехода, а вероятности спонтанных переходов из метастабильных состояний очень малы.
Вместе с тем накопление атомов в метастабильных состояниях может приводить к возникновению линий поглощения, для которых эти состояния являются нижними уровнями. Примером может служить линия поглощения λ 3889 Å, имеющая нижним уровнем метастабильное состояние 2²S гелия. В частности, эта линия наблюдается в спектре звезды θ₁ Ориона, находящейся в туманности Ориона.
Вопрос об условиях, необходимых для появления запрещённых линий, и о накоплении атомов в метастабильных состояниях был подробно рассмотрен В. А. Амбарцумяном [6]. С этим вопросом приходится встречаться при изучении не только газовых туманностей, но и некоторых других объектов: оболочек новых звёзд, комет и т.д.
2. Вероятности столкновений.
Большинство запрещённых линий в спектрах газовых туманностей возникает вследствие возбуждения атомов электронным ударом. Поэтому для всех расчётов, связанных с излучением туманностей в запрещённых линиях, необходимо знать вероятности неупругих столкновений атомов со свободными электронами.
Рассмотрим переходы атома между состояниями 𝑖 и 𝑗 под действием электронных ударов. Число ударов первого рода в 1 см³ за 1 с мы обозначим через 𝑛𝑖𝑏𝑖𝑗. При таких ударах происходят переходы атома из нижнего состояния 𝑖 в верхнее состояние 𝑗 за счёт энергии электрона. Число ударов второго рода в 1 см³ за 1 с обозначим через 𝑛𝑖𝑎𝑗𝑖. При таких ударах совершаются обратные переходы, причём энергия возбуждения атома передаётся электрону.
Величины 𝑏𝑖𝑗 и 𝑎𝑗𝑖 характеризующие вероятности неупругих столкновений, связаны между собой простым соотношением. Для получения этого соотношения рассмотрим состояние термодинамического равновесия. В этом случае на основании принципа детального равновесия имеем
𝑛
𝑖
𝑏
𝑖𝑗
=
𝑛
𝑗
𝑎
𝑗𝑖
.
(25.5)
Но при термодинамическом равновесии распределение атомов по состояниям даётся формулой Больцмана. Поэтому из (25.5) находим
𝑏
𝑖𝑗
=
𝑎
𝑗𝑖
𝑔𝑗
𝑔𝑖
exp
⎛
⎜
⎝
-
ℎν𝑖𝑗
𝑘𝑇
⎞
⎟
⎠
.
(25.6)
Очевидно, что полученное соотношение справедливо во всех случаях, когда имеет место максвелловское распределение электронов по скоростям при температуре 𝑇.
Величина 𝑎𝑗𝑖 очень слабо зависит от температуры электронного газа, так как удары второго рода могут производиться электронами с любой скоростью (в этом случае электрон не затрачивает энергию, а получает). Наоборот, величина 𝑏𝑖𝑗 зависит от температуры очень сильно, причём 𝑏𝑖𝑗 тем больше, чем больше 𝑇. Это обусловлено тем, что удары первого рода могут производить лишь те электроны, энергия которых больше энергии возбуждения атома. В выражении (25.6) зависимость 𝑏𝑖𝑗 от температуры даётся в основном экспоненциальным членом.
Величины 𝑎𝑗𝑖 и 𝑏𝑖𝑗 выражаются через эффективные сечения для столкновений атомов с электронами. Пусть σ𝑖𝑗(𝑣) — эффективное сечение для удара первого рода между атомом и свободным электроном со скоростью 𝑣 и 𝑛𝑒𝑓(𝑣)𝑑𝑣 — число электронов со скоростями от 𝑣 до 𝑣+𝑑𝑣 в 1 см³. Мы, очевидно, имеем
𝑏
𝑖𝑗
=
𝑛
𝑒
∞
∫
𝑣₀
σ
𝑖𝑗
(𝑣)
𝑣𝑓(𝑣)
𝑑𝑣
,
(25.7)
где 𝑚𝑣₀²=ℎν𝑖𝑗 Для величины 𝑎𝑗𝑖 аналогично получаем
𝑎
𝑗𝑖
=
𝑛
𝑒
∞
∫
0
σ
𝑗𝑖
(𝑣)
𝑣𝑓(𝑣)
𝑑𝑣
.
(25.8)
На основании квантовомеханических вычислений можно считать, что в случае метастабильных состояний эффективные поперечные сечения для столкновений обратно пропорциональны энергии электрона. Поэтому величину σ𝑖𝑗(𝑣) можно представить в виде
σ
𝑖𝑗
(𝑣)
=
ℎ²
4π𝑚²
Ω(𝑖,𝑗)
𝑔𝑖𝑣²
,
(25.9)
где Ω(𝑖,𝑗) — безразмерное эффективное сечение (порядка единицы). Величина σ𝑗𝑖(𝑣) даётся аналогичной формулой с заменой 𝑔𝑖 на 𝑔𝑗.
Подставляя (25.9) в (25.7) и пользуясь максвелловским выражением (23.6) для функции 𝑓(𝑣), получаем
𝑎
𝑗𝑖
=
𝑛
𝑒
ℎ²
4π𝑚²
⎛
⎜
⎝
𝑚
2π𝑘𝑇𝑒
⎞½
⎟
⎠
Ω(𝑖,𝑗)
𝑔𝑖
exp
⎛
⎜
⎝
-
ℎν𝑖𝑗
𝑘𝑇𝑒
⎞
⎟
⎠
=
=
8,54⋅10⁻⁶
𝑛𝑒
√𝑇𝑒
Ω(𝑖,𝑗)
𝑔𝑖
