𝑛
𝑖
𝑖-1
∑
𝑘=2
𝐴
𝑖𝑘
=
𝑛
𝑒
𝑛⁺
𝐶
𝑖
(𝑇
𝑒
)
+
∞
∑
𝑘=𝑖+1
𝑛
𝑘
𝐴
𝑘𝑖
(𝑖=3, 4, 5, …).
(24.3)
Таким образом, в обоих случаях мы пришли к системе линейных алгебраических уравнений относительно чисел 𝑧𝑖=𝑛𝑖/𝑛𝑒𝑛⁺.
Система уравнений (24.3) для водорода была приближённо решена Силлье, который использовал 12 первых уравнений (𝑖=3, 4, …, 14) и отбросил остальные. Коэффициент рекомбинации 𝐶𝑖(𝑇𝑒) находился при этом по формуле (23.7).
Позднее Мензел и Бэкер [5] рассмотрели системы уравнений (24.2) и (24.3), взяв более точное выражение для коэффициента рекомбинации (с гаунтовским множителем, отличным от единицы) и приняв во внимание более высокие уровни. В их таблицах приведены значения величины 𝑏𝑖 определённой соотношением
𝑛
𝑖
=
𝑏
𝑖
𝑛
𝑒
𝑛⁺
𝑖²ℎ³
(2π𝑚𝑘𝑇𝑒)³/²
exp
⎛
⎜
⎝
χ𝑖
𝑘𝑇𝑒
⎞
⎟
⎠
,
(24.4)
т.е. показывающей, во сколько раз значение 𝑛𝑖/𝑛𝑒𝑛⁺ в туманностях отличается от значения 𝑛𝑖/𝑛𝑒𝑛⁺ в состоянии термодинамического равновесия с температурой 𝑇𝑒.
Ситон получил более точные решения систем уравнений (24.2) и (24.3). Искомая величина 𝑧𝑖 была при этом представлена в виде
𝑧
𝑖
=
𝐶
𝑖
+
∞
∑
𝑘=𝑖+1
𝑄
𝑘𝑖
𝐶
𝑘
,
𝑖-1
∑
𝑘=𝑘₀
𝐴
𝑖𝑘
(24.5)
где 𝑘₀=1 в случае А и 𝑘₀=2 в случае В, а величины 𝑄𝑘𝑖 (зависящие только от эйнштейновских коэффициентов спонтанных переходов и от значения 𝑘₀) составляют элементы «каскадной матрицы». Очевидно, что величина 𝑄𝑘𝑖 определяет вероятность попадания атома на уровень 𝑖 с уровня 𝑘 любым путём. Вычисленные Ситоном значения величины 𝑏𝑖exp(χ𝑖/(𝑘𝑇𝑒)) приведены в табл. 32.
Таблица 32
Значения величины 𝑏𝑖 exp
⎛
⎜
⎝
χ𝑖
𝑘𝑇𝑒
⎞
⎟
⎠
𝑖
𝑇
𝑒
, K
Случай А
Случай B
10 000
20 000
10 000
20 000
2
0,193
0,315
-
-
3
0,213
0,332
0,668
1,013
4
0,244
0,364
0,540
0,792
5
0,273
0,394
0,519
0,739
6
0,299
0,421
0,520
0,725
7
0,322
0,443
0,529
0,722
8
0,341
0,463
0,540
0,725
9
0,360
0,480
0,552
0,730
10
0,376
0,480
0,552
0,730
15
0,434
0,547
0,605
0,756
20
0,472
0,580
0,635
0,772
25
0,499
0,603
0,656
0,785
30
0,520
0,621
0,673
0,795
Мы видим, что величина 𝑏𝑖 сильно отличается от единицы (а при 𝑖→∞, как и следовало ожидать, 𝑏𝑖→1). На этом основании может сложиться впечатление, что в отношении распределения атомов по состояниям туманности близки к термодинамическому равновесию. В действительности это верно только в отношении величин 𝑛𝑖/𝑛𝑒𝑛⁺ (при 𝑖≥2 в случае А и при 𝑖≥3 в случае В). Если же рассматривать степень возбуждения атомов 𝑛𝑖𝑛₁ то эта величина очень далека от своего значения при термодинамическом равновесии. В самом деле, из формул (23.14) и (24.4) мы получаем
𝑛𝑖
𝑛₁
=
𝑝𝑊
𝑇∗
𝑇𝑒
𝑏
𝑖
𝑔𝑖
𝑔₁
exp
⎛
⎜
⎝
χ𝑖
𝑘𝑇𝑒
-
χ₁
𝑘𝑇∗
⎞
⎟
⎠
.
(24.6)
Формула (24.6) сильно отличается от формулы Больцмана. Особенно существенно присутствие в правой части формулы (24.6) малого множителя 𝑊. Вследствие этого число возбуждённых атомов в туманности гораздо меньше числа атомов в основном состоянии.
Следует отметить, что система уравнений (24.3) [как и (24.2)], определяющая населённости уровней атома водорода, не является вполне точной. При написании этой системы не было принято во внимание азимутальное вырождение уровней, т.е. наличие при главном квантовом числе 𝑖 ряда состояний с различными азимутальными числами 𝑙. В действительности вместо системы (24.3) мы должны написать следующую систему уравнений для определения чисел 𝑛𝑖𝑙:
𝑛
𝑖𝑙
⎡
⎢
⎣
𝑖
∑
𝑘=1
𝐴
𝑖𝑙𝑘(𝑙-1)
+
𝑖
∑
𝑘=𝑙+2
𝐴
𝑖𝑙𝑘(𝑙+1)
⎤
⎥
⎦
=
=
∞
∑
𝑘=𝑖
⎡
⎣
𝑛
𝑘(𝑙+1)
𝐴
𝑘(𝑙+1)𝑖𝑙
+
𝑛
𝑘(𝑙-1)
𝐴
𝑘(𝑙-1)𝑖𝑙
⎤
⎦
+
𝑛
𝑒
𝑛⁺
𝐶
𝑖𝑙
(𝑇
𝑒
)
(
𝑖=3, 4, 5, …,
𝑙=0, 1, 2, …, 𝑖-1
).
(24.7)
Здесь учтено, что разрешены только такие переходы, при которых число 𝑙 меняется на единицу. Система уравнений (24.7) рассматривалась в ряде работ. Один из полученных результатов состоит в том, что замена системы (24.3) системой (24.7) не приводит к значительным изменениям в числах атомов 𝑛𝑖 (а также и в интенсивностях эмиссионных линий).
Уравнения, определяющие населённости уровней, могут быть составлены не только для водорода, но и для других атомов. Однако для других атомов (кроме водородоподобных ионов) очень трудно найти величины 𝐴𝑘𝑖 и 𝐶𝑖(𝑇𝑒). Поэтому населённости уровней в этих случаях вычислялись приближённо (см. [10]).
2. Интенсивности эмиссионных линий.
Знание населённостей уровней атома даёт возможность вычислить интенсивности эмиссионных линий. Эти вычисления сильно облегчаются полной прозрачностью туманностей для излучения в линиях субординатных серий. Интенсивности линий, возникающих в спектрах туманностей в результате рекомбинаций, зависят только от коэффициентов рекомбинаций 𝐶𝑖(𝑇𝑒) и коэффициентов спонтанных переходов 𝐴𝑘𝑖. Поэтому путём сравнения теории с наблюдениями можно, в частности, проверить правильность квантовомеханических вычислений этих коэффициентов. Такая проверка (представляющая особый интерес в случае сложных атомов) возможна только при изучении туманностей, благодаря крайней простоте осуществляющихся в них физических условий.
