𝑁_II

𝑁_I

=

𝑊

ρ₁₂ρ₂₃(1+𝑊ρ₁₃)

ρ₁₃(1+𝑊ρ₁₂)(1+𝑊ρ₂₃)

.

(22.15)

Когда 𝑊=1, формула (22.15) даёт

1

+1

𝑁_II

𝑁_I

=

ρ

₁₃

=

⎛

⎜

⎝

1

+1

⎞

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

1

+1

⎞

⎟

⎠

ρ

₁₂

ρ

₂₃

exp

⎛

⎜

⎝

ℎν₁₃

𝑘𝑇_∗

⎞

⎟

⎠

=

.

exp

⎛

⎜

⎝

ℎν₁₂

⎞

⎟

⎠

⋅exp

⎛

⎜

⎝

ℎν₂₃

⎞

⎟

⎠

𝑘𝑇

_∗

𝑘𝑇

_∗

(22.16)

Но ν₁₂+ν₂₃=ν₁₃. Поэтому в данном случае 𝑁_II/𝑁_I=1, как и следовало ожидать.

Если 𝑊≪1, то, учитывая, что множитель ρ₁₂ρ₂₃/ρ₁₃ имеет значения порядка единицы, получаем

𝑁_II

𝑁_I

≈

𝑊

.

(22.17)

Таким образом, отношение числа процессов второго рода к числу процессов первого рода оказывается порядка 𝑊. Этот результат обычно называют теоремой Росселанда.

В планетарных туманностях 𝑊≈10⁻¹⁴. Поэтому в данном случае числом процессов второго рода можно совершенно пренебречь по сравнению с числом процессов первого рода. Иначе говоря, процессы превращения квантов больших частот в кванты меньших частот происходят в туманностях несравненно чаще, чем обратные процессы.

4. Определение температур звёзд по линиям водорода.

Выше мы считали, что туманность состоит из атомов, обладающих только тремя уровнями энергии. Теперь рассмотрим свечение реальной туманности, состоящей из атомов водорода.

Вследствие чрезвычайно малой плотности излучения в туманностях подавляющее большинство атомов находится в основном состоянии. Поэтому туманности оказываются непрозрачными для излучения в лаймановской серии и совершенно прозрачными для излучения в бальмеровской, пашеновской и других субординатных сериях. Таким образом, туманность поглощает энергию звезды в частотах лаймановской серии и излучает вместо неё кванты в субординатных сериях (и, в частности, в наблюдаемой нами бальмеровской серии), которые беспрепятственно выходят из туманности. При достаточно большой оптической толщине туманности за границей лаймановской серии она будет светиться в водородных линиях в основном за счёт энергии звезды за границей этой серии (так как энергия, поглощаемая туманностью в лаймановских линиях, будет гораздо меньше).

Точнее говоря, процесс свечения водородной туманности происходит следующим образом. Под действием излучения звезды за границей лаймановской серии происходит ионизация водородного атома, т.е. возникают протон и свободный электрон. Через некоторое время свободный электрон захватывается каким-нибудь протоном. Допустим, что захват произошёл на один из высоких уровней. Возникший при этом квант за границей соответствующей субординатной серии уходит из туманности. Далее следует цепь «каскадных» переходов электрона с уровня на уровень. Вследствие чрезвычайно малой плотности излучения и вещества в туманностях эта цепь переходов в огромном большинстве случаев не прерывается. Образующиеся при указанных переходах кванты в линиях субординатных серий также уходят из туманности. Однако если электрон совершил переход на первый уровень, то возникший при этом квант в лаймановской линии поглощается в туманности и электрон опять оказывается на прежнем уровне. Поэтому с данного уровня (если он только не второй) электрон рано или поздно совершит переход не на первый уровень. Легко понять, что указанная цепь переходов должна закончиться переходом на второй уровень с образованием бальмеровского кванта и последующим переходом со второго уровня на первый с образованием кванта в линии L_α.

Бальмеровский квант беспрепятственно уходит из туманности. Что же касается L_α-кванта, то он также уходит из туманности, однако после длительного процесса диффузии.

Из сказанного вытекает, что из каждого поглощённого и переработанного туманностью кванта лаймановского континуума обязательно образуется один бальмеровский квант и один квант в линии L_α (а также может образоваться некоторое количество квантов в других субординатных сериях).

Мы сейчас будем считать, что оптическая толщина туманности за пределом серии Лаймана значительно больше единицы. В таком случае туманность будет поглощать и перерабатывать все 𝐿_𝑐-кванты звезды. Поэтому в данном случае число излучаемых звездою 𝐿_𝑐-квантов будет равно числу излучаемых туманностью бальмеровских квантов.

Таким образом, по свечению туманности в бальмеровской серии можно судить о свечении звезды за границей лаймановской серии. Сравнивая свечение туманности в бальмеровской серии со свечением звезды в видимой части спектра, мы, по существу, сравниваем свечение звезды в двух далёких друг от друга областях спектра (ультрафиолетовой и видимой). Поэтому из указанного сравнения может быть определена температура звезды.

Обозначим через 𝐼_ν^* среднюю интенсивность излучения, выходящего из звезды. Тогда число квантов, излучаемых звездой в интервале частот от ν до ν+𝑑ν, будет равно

4π𝑟

_∗

²

π𝐼_ν^*

ℎν

𝑑ν

,

а значит, полное число испускаемых звездой 𝐿_𝑐-квантов будет определяться формулой

𝑁

_𝐿𝑐

^*

=

4π𝑟

_∗

²

∞

∫

ν₀

π𝐼_ν^*

ℎν

𝑑ν

,

(22.18)

где ν₀ — частота границы лаймановской серии.

С другой стороны, число бальмеровских квантов, излучаемых туманностью, равно

𝑁

_Ba

=

∑

Ba

𝐸_𝑖

ℎν_𝑖

,

(22.19)

где 𝐸_𝑖 — полная энергия, излучаемая туманностью в 𝑖-й бальмеровской линии, а ℎν_𝑖 — энергия соответствующего кванта. Обозначим через 𝐸_𝑖^* энергию, излучаемую звездой в единичном интервале частот вблизи 𝑖-й бальмеровской линии, и составим безразмерные отношения

𝐴

_𝑖

=

𝐸_𝑖

ν_𝑖𝐸_𝑖^*

,

(22.20)

которые могут быть определены из наблюдений. Подставляя (22.20 в (22.19) и учитывая, что

𝐸

_𝑖

^*

=

4π𝑟

_∗

²

π𝐼

_ν𝑖

^*

,

(22.21)

получаем

𝑁

_Ba

=

4π𝑟

_∗

²