𝑊
=
1
2
⎡
⎢
⎣
1-
⎧
⎪
⎩
1-
⎛
⎜
⎝
𝑟∗
𝑟
⎞²
⎟
⎠
⎫½
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
.
(22.4)
В точку, находящуюся на поверхности звезды, излучение приходит от полусферы. Поэтому в данном случае (т.е. при 𝑟=𝑟∗) 𝑊=½.
Для точек, находящихся на больших расстояниях от звезды (т.е. при 𝑟≫𝑟∗), из формулы (22.4) находим
𝑊
=
1
2
⎛
⎜
⎝
𝑟∗
𝑟
⎞²
⎟
⎠
.
(22.5)
Заметим, что в этом случае коэффициент дилюции может быть представлен как отношение площади диска звезды π𝑟∗² к площади сферы радиуса 𝑟, т.е. 4π𝑟².
Средние радиусы планетарных туманностей оказываются порядка 10¹⁷ см, а радиусы их ядер — порядка 10¹⁰ см. Поэтому плотность излучения в планетарной туманности ослаблена приблизительно в 10¹⁴ раз по сравнению с плотностью излучения на поверхности звезды.
Проинтегрировав соотношение (22.2) по всем частотам и воспользовавшись формулой Стефана — Больцмана для интегральной плотности излучения при термодинамическом равновесии, получаем следующее выражение для интегральной плотности излучения в туманности
ρ
=
𝑊𝑎𝑇
∗
⁴
.
(22.6)
Представив величину ρ в виде ρ=𝑎𝑇₁⁴, находим
𝑇₁
=
𝑊
¼
𝑇
∗
.
(22.7)
Так как температуры звёзд, вызывающих свечение туманностей, порядка нескольких десятков тысяч кельвинов, а значения 𝑊 в туманностях, как мы только что определили, порядка 10⁻¹⁴, то значения температуры 𝑇₁ соответствующей интегральной плотности излучения в туманностях, оказываются всего порядка нескольких десятков кельвинов.
Итак, интегральная плотность излучения, приходящего от звезды в туманность, чрезвычайно мала. Между тем, как видно из формулы (22.2), относительное распределение этого излучения по частотам оказывается таким же, как при выходе из звезды, т.е. соответствующим очень высокой температуре 𝑇∗. Таким образом, излучение, приходящее от звезды в туманность, характеризуется громадным несоответствием между интегральной плотностью и спектральным составом.
Если излучение, обладающее указанным свойством, взаимодействует с веществом, то, как известно из термодинамики, происходит перераспределение излучения по частотам в направлении установления наиболее вероятного распределения. Иными словами, в таком случае должна происходить переработка квантов больших частот в кванты меньших частот. Этим даётся качественное объяснение процесса переработки излучения в газовых туманностях.
3. Теорема Росселанда.
Переходя к рассмотрению процесса свечения туманностей с количественной стороны, мы сначала допустим, что атомы обладают только тремя уровнями энергии (1, 2 и 3). Из различных переходов, происходящих под действием излучения звезды, мы рассмотрим два взаимно противоположных циклических процесса:
I.
1
→
3
→
2
→
1
,
II.
1
→
2
→
3
→
1
.
Первый из этих процессов связан с поглощением одного кванта частоты ν₁₃ и с излучением двух квантов меньших частот ν₁₂ и ν₂₃, а второй — с поглощением двух квантов частот ν₁₂ и ν₂₃, и последующим излучением одного кванта большей частоты ν₁₃.
Найдём число процессов первого и второго рода, происходящих в единице объёма туманности за 1 с. Для этого воспользуемся эйнштейновскими коэффициентами переходов 𝐴𝑘𝑖, 𝐵𝑖𝑘 и 𝐵𝑘𝑖 и обозначим через ρ𝑖𝑘 плотность излучения частоты ν𝑖𝑘.
Если 𝑛₁ — число атомов в первом состоянии в 1 см³, то число переходов из первого состояния в третье, происходящих в 1 см³ за 1 с, будет равно 𝑛₁𝐵₁₃ρ₁₃. Из третьего состояния возможны переходы (спонтанные и индуцированные) как в первое состояние, так и во второе. Доля интересующих нас переходов во второе состояние равна
𝐴₃₂+𝐵₃₂ρ₂₃
𝐴₃₁+𝐵₃₁ρ₁₃+𝐴₃₂+𝐵₃₂ρ₂₃
.
Из атомов, оказавшихся во втором состоянии, часть перейдёт обратно в третье состояние, поглотив излучение, а часть перейдёт в первое состояние (спонтанно или под действием излучения). Отношение числа переходов из второго состояния в первое к общему числу переходов из второго состояния равно
𝐴₂₁+𝐵₂₁ρ₁₂
𝐵₂₃ρ₂₃+𝐴₂₁+𝐵₂₁ρ₁₂
.
Таким образом, для искомого числа процессов первого рода получаем
𝑁
I
=
𝑛₁𝐵₁₃ρ₁₃
𝐴₃₂+𝐵₃₂ρ₂₃
𝐴₃₁+𝐵₃₁ρ₁₃+𝐴₃₂+𝐵₃₂ρ₂₃
×
×
𝐴₂₁+𝐵₂₁ρ₁₂
𝐵₂₃ρ₂₃+𝐴₂₁+𝐵₂₁ρ₁₂
.
(22.8)
Аналогично находится число процессов второго рода. Оно оказывается равным
𝑁
II
=
𝑛₁𝐵₁₂ρ₁₂
𝐵₂₃ρ₂₃
𝐴₂₁+𝐵₂₁ρ₁₂+𝐵₂₃ρ₂₃
×
×
𝐴₃₁+𝐵₃₁ρ₁₃
𝐴₃₁+𝐵₃₁ρ₁₃+𝐴₃₂+𝐵₃₂ρ₂₃
.
(22.9)
Из соотношений (22.8) и (22.9) вытекает следующая формула для отношения числа процессов второго рода к числу процессов первого рода:
𝑁II
𝑁I
=
𝐵₁₂ρ₁₂𝐵₂₃ρ₂₃(𝐴₃₁+𝐵₃₁ρ₁₃)
𝐵₁₃ρ₁₃(𝐴₃₂+𝐵₃₂ρ₂₃)(𝐴₂₁+𝐵₂₁ρ₁₂)
.
(22.10)
Чтобы упростить полученную формулу, введём соотношения Эйнштейна:
𝐴
𝑘𝑖
=
𝐵
𝑖𝑘
𝑔𝑖
𝑔𝑘
σ
𝑖𝑘
,
𝐵
𝑘𝑖
=
𝑔𝑖
𝑔𝑘
𝐵
𝑖𝑘
,
(22.11)
где
σ
𝑖𝑘
=
8πℎν𝑖𝑘³
𝑐³
,
(22.12)
а 𝑔𝑖 — статистический вес 𝑖-го состояния (см. § 8). Кроме того, запишем величину ρ𝑖𝑘 в виде
ρ
𝑖𝑘
=
𝑊
σ
𝑖𝑘
ρ
𝑖𝑘
,
(22.13)
где
ρ
𝑖𝑘
=
1
.
exp
⎛
⎜
⎝
ℎν
𝑖𝑘
-1
⎞
⎟
⎠
𝑘𝑇
∗
(22.14)
В результате формула (22.10) преобразуется к виду
