Формула в этом случае будет выглядеть так:

Предположим, например, что портфельный менеджер собирается купить финансовый инструмент, от которого следует ожидать следующих выплат:

Допустим, что портфельный менеджер хотел бы инвестировать под 6,25 % годовых. Приведенная стоимость данной инвестиции может быть вычислена следующим образом:

Неизменная сумма денег (в долларах), получаемая через равные промежутки времени или выплачиваемая раз в год, называется аннуитетом. Если первую выплату инвестор получает через один период, считая с настоящего момента, аннуитет называется обычным. Существует также форма немедленной выплаты, которую, однако, мы не будем здесь рассматривать – в данной книге речь пойдет только об обычном аннуитете.

Вычисление приведенной стоимости обычного аннуитета производится следующим образом: сначала подсчитываются приведенные стоимости каждой из будущих стоимостей, затем все полученные значения суммируются. Возможно также использование следующей формулы:

где А – размер аннуитета (в долларах). Выражение в скобках – это приведенная стоимость обычного аннуитета, равного $1, для n периодов.

Предположим, что от своих инвестиций инвестор в течение восьми лет рассчитывает получать по $100 в конце каждого года; дисконтная ставка, используемая для дисконтирования, равна 9 %. Приведенная стоимость такого обычного аннуитета составит:

Вычисляя приведенную стоимость, мы предполагали, что будущая стоимость будет выплачена или получена раз в год. В реальной практике, между тем, будущую стоимость инвестор может получать чаще, чем раз в год. В подобной ситуации формулу, принятую нами для установления значения приведенной стоимости, следует уточнить. Во-первых, годовая процентная ставка делится на количество выплат в год. (В действительности такой метод уточнения величины процентной ставки не является корректным. Научно обоснованный метод уточнения данного значения приводится в главе 3.) Так, если будущие стоимости выплачиваются раз в полгода, годовая процентная ставка делится на 2; если они выплачиваются раз в квартал, годовую процентную ставку следует делить на 4. Во-вторых, число периодов, в течение которых инвестор будет получать будущую стоимость, должно быть уточнено путем умножения числа лет на количество выплат в год.

Цена любого финансового инструмента равна приведенной стоимости предполагаемого денежного потока от данного финансового инструмента. Таким образом, для определения цены следует знать:

1) размер предполагаемых денежных потоков;

2) величину подходящей требуемой доходности (требуемой ставки).

Предполагаемые денежные потоки для одних финансовых инструментов вычисляются легко, для других – с большей сложностью. Требуемая доходность – это величина, отражающая доходность финансовых инструментов со сравнимым риском, иными словами – доходность альтернативных инвестиций.

Первый шаг, который мы делаем, приступая к определению цены облигации, – определение ее денежных потоков. Денежные потоки от облигации, которую эмитент не имеет права погасить до установленной даты погашения (т. е. облигация без встроенного колл-опциона)[7], состоят из:

1) периодических купонных выплат, осуществляемых вплоть до даты погашения;

2) номинальной стоимости (стоимости погашения), получаемой в момент погашения облигации.

Для упрощения анализа механизма ценообразования облигаций, договоримся считать действительными три утверждения:

1. Купонные выплаты осуществляются раз в полгода (по большинству американских облигаций купон действительно выплачивается раз в шесть месяцев).

2. Ближайшая выплата купона состоится ровно через шесть месяцев.

3. Купонная ставка фиксирована на весь срок до погашения облигации.

Итак, денежный поток облигации без встроенного колл-опциона состоит из аннуитета фиксированных купонных выплат, получаемых раз в полгода, и номинальной стоимости. 20-летняя облигация с купонной ставкой 10 % и номиналом $1000 от купонных выплат получит следующий денежный поток:

Таким образом, существует 40 денежных потоков по $50, получаемых каждые полгода, и денежный поток, равный $1000, который будет получен через 40 полугодовых периодов. Обратите внимание на описание номинальной стоимости. Мы не говорим, что получим ее через 20 лет – номинал описывается в тех же терминах, что и купон, выплачиваемый раз в шесть месяцев.

Требуемая доходность выясняется после изучения рыночных доходностей облигаций, сравнимых с нашей. Под сравнимыми понимаются облигации без встроенного колл-опциона, имеющие то же кредитное качество и тот же срок до погашения[8].

Требуемая доходность, как правило, выражается в процентах годовых. В ситуации, когда денежные потоки поступают раз в полгода, в качестве процентной ставки для дисконтирования денежных потоков принято использовать половину годовой процентной ставки.

Размеры денежных потоков и требуемая доходность – аналитические данные, достаточные для вычисления цены облигации. Поскольку ценой облигации является приведенная стоимость денежных потоков, ее значение вычисляется путем сложения следующих двух величин:

1) приведенной стоимости полугодовых купонных выплат;

2) приведенной стоимости номинала в момент погашения.

В общих чертах формула подсчета цены выглядит следующим образом:

где:

P – цена (в долларах);

n – число периодов до погашения (число лет, умноженное на 2);

C – полугодовая купонная выплата (в долларах);

r – процентная ставка, соответствующая периоду (требуемая годовая доходность, деленная на 2);

M – стоимость номинала;

t – количество периодов, оставшихся до получения платежа.

Полугодовые выплаты купона представляют собой обычный аннуитет, поэтому, используя формулу (2.5) для вычисления приведенной стоимости обычного аннуитета, получаем приведенную стоимость купонной выплаты, равную:

Для того чтобы читатель понял, как на практике осуществляется вычисление цены облигации, рассмотрим 20-летнюю облигацию с купоном, равным 10 %, и номинальной стоимостью $1000. Допустим, что требуемая доходность для этой облигации составляет 11 %. Данная облигация приносит следующие денежные потоки:

1) 40 полугодовых купонных выплат по $50 каждая;

2) $1000 через 40 полугодовых периодов.

Полугодовая (соответствующая периоду) процентная ставка (или соответствующая периоду требуемая доходность) равна 5,5 % (11 % поделить на 2).

Приведенная стоимость 40 полугодовых купонных выплат по $50, дисконтированная по 5,5 %, согласно результатам приведенных ниже вычислений, составляет $802,31: