Полученная мера выпуклости равна половине меры выпуклости, получаемой по формуле (4.19). Существенно ли данное различие? Ни в коей мере. Важно, однако, соответствующим образом уточнить значение отношения аппроксимированного процентного изменения цены, обусловленного выпуклостью, к мере выпуклости. Формула (4.20) в этом случае должна выглядеть как:

Очевидно, что аппроксимированное процентное изменение цены, обусловленное выпуклостью, остается неизменным вне зависимости от того, используем мы формулу (4.20) или формулу, приведенную выше. Этот вывод возвращает нас ко второму замечанию: интерпретация меры выпуклости «самой по себе» невозможна, поскольку разные аналитические системы представляют ее в разном виде. Напомним еще раз, что необходимое условие получения верного значения меры выпуклости – установление ее связи с квадратом изменения доходности.

До сих пор мы рассматривали выпуклость как подсобную величину, позволяющую улучшить аппроксимацию изменения цены облигации при данном изменении доходности. Между тем, как видно из графика на рис. 4.4, выпуклость может иметь и другое применение в инвестиционном процессе. На рисунке показаны облигации А и В. Обе они имеют одинаковые дюрации и доходность; выпуклости их, однако, различны. Облигация В более выпукла (изогнута), чем облигация А.

Что означает бо́льшая выпуклость облигации В? Как при росте, так и при падении рыночных процентных ставок, цена облигации В окажется более высокой. Таким образом, если требуемая доходность растет, убыток по облигации В будет меньше, чем по облигации А. Падение рыночных ставок приведет к более заметному росту цены обигации В по сравнению с облигацией А.

Как правило, рынок принимает в расчет бо́льшую выпуклость В по сравнению с А: данное свойство облигаций отражается на их ценообразовании. Итак, рынок приписывает выпуклости определенную стоимость. Именно поэтому, хотя ситуация, описанная графиком на рис. 4.4, в некоторые периоды времени действительно может иметь место, чаще всего рынок заставляет инвестора «оплачивать» (принимая более низкую доходность) более высокую выпуклость облигации В.

Возникает вопрос: какова цена выпуклости, которую инвестор обязан платить по требованию рынка? Еще раз обратимся к графику на рис. 4.4. Обратите внимание: если инвестор предполагает, что рыночные ставки изменятся мало (т. е. ожидается низкая волатильность процентных ставок), владеть облигацией В не выгоднее, чем облигацией А, поскольку при небольших изменениях доходности обе облигации дают примерно одну цену. В этом случае инвестору незачем оплачивать выпуклость. Заметим, что на рынке, где выпуклость оценивается высоко, т. е. где А предлагает более высокую доходность, чем В, инвесторы, чьи планы строятся исходя из предположений о будущей низкой волатильности процентных ставок, склонны «продавать выпуклость» – продавать облигации В – и приобретать облигации А. И наоборот: если инвесторы возлагают надежды на высокую волатильность процентных ставок, облигация В, скорее всего, будет продаваться при заметно более низкой доходности, нежели А.

Для выпуклости всех облигаций без встроенных опционов характерны следующие три основных свойства:

Свойство 1: Если требуемая доходность растет (падает), выпуклость облигации падает (растет). Это свойство носит название положительной выпуклости.

На практике данный феномен выражается следующим образом: если рыночные ставки растут, цена облигации начинает падать. Падение цены замедляется уменьшением дюрации, связанным с ростом требуемой доходности. И наоборот: стоит рыночным ставкам упасть, дюрация возрастет, ускоряя процентное изменение цены. На рынке облигаций без встроенных опционов можно наблюдать оба описанных типа изменений дюрации.

Данное свойство мы графически изобразили на рис. 4.5. Угол наклона касательной уменьшается с ростом процентных ставок. Меньший наклон соответствует меньшей дюрации, характерной для ситуации увеличения требуемой доходности. И наоборот: при уменьшении процентных ставок наклон касательной растет, а значит, увеличивается и дюрация. Данное свойство характерно для всех без исключения облигаций, не имеющих встроенных опционов. Приведенный график позволяет также увидеть, что выпуклость действительно является мерой оценки скорости изменения долларовой дюрации, связанной с изменением рыночных ставок.

Свойство 2: При данных доходности и длительности облигации, более низкий купон обусловливает более высокую выпуклость облигации.

Подтверждением этому выводу могут служить значения выпуклости, полученные нами для шести гипотетических облигаций. Из трех пятилетних облигаций наибольшей выпуклостью обладает бескупонная, наименьшей – облигация с купоном, равным 9 %. Тот же результат получаем, анализируя 25-летние облигации.

Свойство 3: При данных доходности и модифицированной дюрации, чем ниже купон, тем меньше выпуклость.

В инвестиционной практике свойство 3 интерпретируется следующим образом: при данной модифицированной дюрации наименьшая выпуклость характерна для облигаций с нулевым купоном.

Мы уже писали о том, что применять дюрацию в качестве единственной меры волатильности цены облигации неразумно. Ниже мы обратимся к двум другим особенностям использования понятия дюрации в инвестиционной практике.

Напомним, что, выясняя характер зависимости между модифицированной дюрацией и волатильностью цены облигации, мы начали анализ с ценового уравнения (4.1). Данная формула предполагает, что все денежные потоки облигации дисконтированы по единой дисконтной ставке (целесообразность этого предположения мы обсуждаем в главе 5, говоря о кривой доходности). В целом, как формула (4.3), так и ее варианты строятся на основании утверждения о том, что кривая доходности является плоской и изменения доходности в любой ее части параллельны. В главе 19 мы доказываем, что применение дюрации в ситуации, когда изменения доходности в разных частях кривой не параллельны, дает не слишком надежный результат. Это особенно важно помнить инвесторам, пытающимся с помощью значения портфельной дюрации выяснить степень чувствительности стоимости портфеля к изменению процентных ставок. Если в портфель входят облигации с различными длительностями, дюрация, как правило, не учитывает неодинаковые изменения процентных ставок для различных длительностей. В конце этой главы мы предложим один из возможных способов измерения чувствительности портфеля в ситуации, когда процентные ставки для разных длительностей меняются на разное число базисных пунктов.

Второе положение, которое следует помнить инвесторам, работающим с понятием дюрации: все выводы, сделанные нами в этой главе, имеют отношение только к облигациям без встроенных опционов. Если изменение доходностей приводит к изменениям предполагаемых денежных потоков облигации (а именно так происходит с облигациями, имеющими встроенные опционы), меры дюрации и выпуклости применимы лишь в некоторых специфических случаях. Волатильность цен облигаций со встроенными опционами мы анализируем в главах 17 и 18.

Текст предоставлен ООО «ЛитРес».

Прочитайте эту книгу целиком, купив полную легальную версию на ЛитРес.