0
φ(μ)
μ
𝑖
𝑑μ
,
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
β
𝑖
1
∫
0
ψ(μ)
μ
𝑖
𝑑μ
,
(19.63)
т.е. α₀ и β₀ — нулевые моменты функций φ(μ) и ψ(μ).
Легко видеть, что величины 𝑁(μ₀) и 𝑁(μ₀) имеют простой физический смысл. Первая из них представляет собой отношение освещённости поверхности планеты к освещённости верхней границы атмосферы, а вторая — отношение освещённости верхней границы снизу к освещённости верхней границы сверху (при 𝐴=0).
5. Альбедо планеты.
Полученные выше формулы для интенсивности излучения, диффузно отражённого планетной атмосферой, позволяют легко определить альбедо планеты. Сначала мы найдём так называемое плоское альбедо, т.е. альбедо планеты в данном месте при определённом угле падения солнечных лучей на плоский слой, в виде которого представляется атмосфера. Очевидно, что поток излучения, выходящего из атмосферы, равен
2π
𝐹μ₀
1
∫
0
ρ
(μ,μ₀)
μ
𝑑μ
,
а поток солнечного излучения, падающего на атмосферу, равен π𝐹μ₀. Поэтому плоское альбедо, являющееся отношением указанных потоков, равно
𝐴₁(μ₀)
=
2
1
∫
0
ρ
(μ,μ₀)
μ
𝑑μ
.
(19.64)
Для вычисления величины 𝐴₁(μ₀) подставим в формулу (19.64) выражение (19.59). Учитывая при этом формулы (19.58) и (19.61), получаем
𝐴₁(μ₀)
=
𝑁(μ₀)
+
+
𝐴
1-𝐴𝐶
⎡
⎣
(2-λα₀)
β₁
+
λ
β₀
α₁
⎤
⎦
𝑀(μ₀)
,
(19.65)
где, как и раньше, 𝐴 — альбедо поверхности планеты, а α₁ и β₁ — первые моменты функций φ(μ) и ψ(μ). Как видно из формул (19.56), (19.58) и (19.62), величина 𝐶 равна
𝐶
=
1-
(2-λα₀)
α₁
-
λ
β₀
β₁
.
(19.66)
Отметим, что входящие в приведённые формулы величины α₀ и β₀ связаны между собой простым соотношением. Чтобы получить его, проинтегрируем уравнение (19.41) по μ в пределах от нуля до 1. В результате находим
α₀
=
1+
λ
2
1
∫
0
μ
𝑑μ
1
∫
0
φ(μ)φ(μ')-ψ(μ)ψ(μ')
μ+μ'
𝑑μ'
,
(19.67)
или, после замены
μ
μ+μ'
=
1-
μ'
μ+μ'
,
α₀
=
1+
λ
2
(α₀²+β₀²)
-
-
λ
2
1
∫
0
𝑑μ
1
∫
0
φ(μ)φ(μ')-ψ(μ)ψ(μ')
μ+μ'
μ'
𝑑μ'
.
(19.68)
Из двух последних формул и вытекает искомое соотношение:
α₀
=
1+
λ
4
(α₀²+β₀²)
.
(19.69)
Рассмотрим два частных случая формулы (19.65), определяющей плоское альбедо.
1. Допустим, что оптическая толщина атмосферы бесконечно велика (τ₀=∞). В этом случае функция φ(μ) определяется уравнением (19.16), а ψ(μ)=0. Поэтому формула (19.65) принимает вид
𝐴₁(μ₀)
=
1-
⎛
⎜
⎝
1-
λ
2
α₀
⎞
⎟
⎠
φ(μ₀)
.
(19.70)
Но из соотношения (19.69) в данном случае (т.е. при β₀) находим
α₀
=
λ
2
⎛
⎝
1-
√
1-λ
⎞
⎠
.
(19.71)
Следовательно, вместо (19.70) имеем
𝐴₁(μ₀)
=
1-
φ(μ₀)
√
1-λ
.
(19.72)
2. Будем считать, что в атмосфере происходит чистое рассеяние излучения, т.е. λ=1. В указанном случае, как следует из (19.69),
α₀
=
2-
β₀
,
(19.73)
поэтому
𝐶
=
1-
β₀
(α₁+β₁)
.
(19.74)
Легко видеть, что формулу (19.65) можно теперь переписать в виде
𝐴₁(μ₀)
=
1-
β₀
2
⎡
⎣
φ(μ₀)
+
ψ(μ₀)
⎤
⎦
1-𝐴
1-𝐴𝐶
.
(19.75)
При изучении планет, кроме плоского альбедо, употребляют ещё так называемое сферическое альбедо, представляющее собой отношение энергии, отражённой всей планетой, к энергии, падающей на планету от Солнца. Если плоское альбедо известно, то легко найти и сферическое альбедо.
Рис. 25
Обозначим радиус планеты через 𝑅 (рис. 25). Тогда энергия, падающая на планету от Солнца, будет равна π𝑅² π𝐹. С другой стороны, обозначая через 𝑟 расстояние данной точки на диске планеты от центра диска, находим, что энергия, отражённая планетой, будет равна
2π
𝑅
∫
0
𝐴₁(μ₀)
π𝐹𝑟
𝑑𝑟
.
Так как 𝑟 𝑑𝑟=𝑅²μ₀ 𝑑μ₀, то последнее выражение можно переписать в виде
2π
𝑅²
π𝐹
1
∫
0
𝐴₁(μ₀)
μ₀
𝑑μ₀
.
Поэтому, обозначая сферическое альбедо через 𝐴∗, получаем
𝐴
∗
=
2
1
∫
0
𝐴₁(μ₀)
μ₀
𝑑μ₀
.
(19.76)
Подставляя (19.65) в (19.76), находим
𝐴
∗
=
𝐶
+
𝐴
1-𝐴𝐶
⎡
⎣
(2-λα₀)
β₁
+
λβ₀
α₁
⎤²
⎦
,
(19.77)
где 𝐶 определяется формулой (19.66).
Применим полученную формулу для сферического альбедо к двум рассмотренным выше случаям. В первом из этих случаев (т.е. при τ₀=∞) имеем
𝐴
∗
=
1-2
α₁√
1-λ
,
(19.78)
а во втором (т.е. при τ₀=1)
𝐴
∗
