𝑥(γ)
=
1+
𝑥₁cos γ
,
(19.17)
где 𝑥₁ — некоторый параметр.
В данном случае коэффициент яркости определяется формулой
ρ(μ,μ₀,φ)
=
ρ₀(μ,μ₀)
+
ρ₁(μ,μ₀)
cos φ
,
(19.18)
а величины ρ₀(μ,μ₀) и ρ₁(μ,μ₀) имеют следующую структуру:
ρ₀(μ,μ₀)
=
λ
4
φ₀⁰(μ)φ₀⁰(μ₀)-𝑥₁φ₁⁰(μ)φ₁⁰(μ₀)
μ+μ₀
,
(19.19)
ρ₁(μ,μ₀)
=
λ
4
𝑥₁
φ₁¹(μ) φ₁¹(μ₀)
μ+μ₀
.
(19.20)
В свою очередь вспомогательные функции φ₀⁰(μ) и φ₁⁰(μ) определяются из системы уравнений
φ₀⁰(μ)
=
1
+
+
λ
2
μ
1
∫
0
φ₀⁰(μ)φ₀⁰(μ')-𝑥₁φ₁⁰(μ)φ₁⁰(μ')
μ-μ'
𝑑μ'
,
(19.21)
φ₁⁰(μ)
=
μ
-
-
λ
2
μ
1
∫
0
φ₀⁰(μ)φ₀⁰(μ')-𝑥₁φ₁⁰(μ)φ₁⁰(μ')
μ-μ'
𝑑μ'
,
(19.22)
а вспомогательная функция φ₁¹(μ) — из уравнения
φ₁¹(μ)
=
√
1-μ²
+
+
λ
4
𝑥₁μ
φ₁¹(μ)
1
∫
0
φ₁¹(μ')
μ+μ'
√
1-μ'²
𝑑μ'
.
(19.23)
Функции φ₀⁰(μ), φ₁⁰(μ) и φ₁¹(μ) табулированы, так что вычисление коэффициента яркости по формулам (19.18) — (19.20) не составляет труда.
При сильно вытянутой индикатрисе рассеяния формулы для коэффициента отражения ρ(μ,μ₀,φ) становятся довольно сложными. В этом случае для его определения используются численные методы.
3. Атмосфера конечной оптической толщины.
Рассмотрим теперь рассеяние света в атмосфере произвольной оптической толщины τ₀. Считая для простоты, что индикатриса рассеяния является сферической, получаем следующее уравнение для определения функции 𝑆(τ,μ₀):
𝑆(τ,μ₀)
=
λ
2
τ₀
∫
0
𝐸₁|τ-𝑡|
𝑆(𝑡,μ₀)
𝑑𝑡
+
λ
4
𝐹
exp
⎛
⎜
⎝
-
τ
μ₀
⎞
⎟
⎠
.
(19.24)
Здесь мы пока пренебрегли отражением света поверхностью планеты.
Наша задача состоит в определении интенсивностей излучения, диффузно отражённого и диффузно пропущенного атмосферой. Вместо них мы будем искать соответствующие им коэффициенты яркости (или коэффициенты отражения и пропускания) ρ(μ,μ₀) и σ(μ,μ₀), выражающиеся через функцию 𝑆(τ,μ₀) при помощи формул
𝐹ρ(μ,μ₀)
μ₀
=
τ₀
∫
0
𝑆(τ,μ₀)
exp
⎛
⎜
⎝
-
τ
μ
⎞
⎟
⎠
𝑑τ
μ
,
(19.25)
𝐹σ(μ,μ₀)
μ₀
=
τ₀
∫
0
𝑆(τ,μ₀)
exp
⎛
⎜
⎝
-
τ₀-τ
μ
⎞
⎟
⎠
𝑑τ
μ
.
(19.26)
Однако для нахождения величин ρ(μ,μ₀) и σ(μ,μ₀) нет необходимости в предварительном определении функции 𝑆(τ,μ₀) Как и в случае τ₀=∞, можно получить уравнения, непосредственно определяющие коэффициенты яркости. Для этого поступим следующим образом.
Перепишем уравнения (19.24) в виде
𝑆(τ,μ₀)
=
λ
2
τ
∫
0
𝐸₁(τ-𝑡)
𝑆(𝑡,μ₀)
𝑑𝑡
+
+
λ
2
τ₀
∫
0
𝐸₁(𝑡-τ)
𝑆(𝑡,μ₀)
𝑑𝑡
+
λ
4
𝐹
exp
⎛
⎜
⎝
-
τ
μ₀
⎞
⎟
⎠
.
(19.27)
Положив τ-𝑡=𝑥 в первом интеграле и 𝑡-τ=𝑥 во втором, получаем
𝑆(τ,μ₀)
=
λ
2
τ
∫
0
𝐸₁𝑥
𝑆(τ-𝑥,μ₀)
𝑑𝑥
+
λ
2
τ₀-τ
∫
0
𝐸₁𝑥
𝑆(τ+𝑥,μ₀)
𝑑𝑥
+
λ
4
𝐹
exp
⎛
⎜
⎝
-
τ
μ₀
⎞
⎟
⎠
.
(19.28)
Дифференцируя это уравнение по τ, находим
𝑆'(τ,μ₀)
=
λ
2
τ₀
∫
0
𝐸₁|τ-𝑡|
𝑆'(𝑡,μ₀)
𝑑𝑡
-
λ𝐹
4μ₀
exp
⎛
⎜
⎝
-
τ
μ₀
⎞
⎟
⎠
+
+
λ
2
𝑆(0,μ₀)
𝐸₁τ
-
λ
2
𝑆(τ₀,μ₀)
𝐸₁(τ₀-τ)
.
(19.29)
Сравнивая между собой уравнения (19.24) и (19.29), мы видим, что они имеют одинаковые ядра и отличаются друг от друга лишь свободными членами. Но так как функция 𝐸₁τ определяется формулой
𝐸₁τ
=
1
∫
0
exp
⎛
⎜
⎝
-
τ
μ
⎞
⎟
⎠
𝑑μ
μ
,
(19.30)
то свободный член уравнения (19.29) представляет собой суперпозицию свободных членов уравнения (19.24). Поэтому вследствие линейности рассматриваемых уравнений имеем
𝑆'(τ,μ₀)
=-
1
μ₀
𝑆(τ,μ₀)
+
2
𝐹
𝑆(0,μ₀)
1
∫
0
𝑆(τ,μ')
𝑑μ'
μ'
-
-
2
𝐹
𝑆(τ₀,μ₀)
1
∫
0
𝑆(τ₀-τ,μ')
𝑑μ'
μ'
.
(19.31)
Соотношение (19.31) и даёт нам возможность получить уравнения, определяющие величины ρ(μ,μ₀) и σ(μ,μ₀). Умножая это соотношение на
exp
⎛
⎜
⎝
-
τ
μ
⎞
⎟
⎠
𝑑μ
μ
,
интегрируя по τ в пределах от нуля до τ₀ и учитывая формулы (19.25) и (19.26), находим
𝐹
ρ(μ,μ₀)
(μ+μ₀)
=
𝑆(0,μ₀)
φ(μ)
-
𝑆(τ₀,μ₀)
ψ(μ)
,
