В уравнениях (19.1) и (19.4) вместо коэффициента излучения ε введём величину 𝑆 посредством соотношения
ε
=
α𝑆
.
(19.5)
При произвольной индикатрисе рассеяния величины 𝑆 и 𝐼 зависят от оптической глубины τ зенитного расстояния θ и азимута φ. Поэтому вместо уравнений (19.1) и (19.4) мы можем написать
cos θ
𝑑𝐼(τ,θ,φ)
𝑑τ
=
𝐼(τ,θ,φ)
-
𝑆(τ,θ,φ)
,
(19.6)
𝑆(τ,θ,φ)
=
λ
4π
2π
∫
0
𝑑ψ'
π
∫
0
𝑥(γ')
𝐼(τ,θ',φ')
sin θ'
𝑑θ'
+
+
λ
4
𝐹
𝑥(γ)
exp
⎛
⎝
-τ
sec θ₀
⎞
⎠
,
(19.7)
где
cos γ'
=
cos θ
cos θ'
+
sin θ
sin θ'
cos(φ-φ')
,
⎫
⎬
⎭
cos γ
=-
cos θ
cos θ₀
+
sin θ
sin θ₀
cos φ
,
(19.8)
а азимут направления солнечных лучей принят равным нулю.
Таким образом, задача о рассеянии света в планетной атмосфере сводится к решению уравнений (19.6) и (19.7). К этим уравнениям следует присоединить ещё граничные условия. Условие на верхней границе атмосферы (т.е. при τ=0) должно выражать тот факт, что нет диффузного излучения, падающего на атмосферу извне. Условие на нижней границе (т.е. при τ=τ₀) должно учитывать отражение излучения поверхностью планеты.
Решая приведённые уравнения, можно найти интенсивности излучения, выходящего из атмосферы. Сравнение теоретических и наблюдённых значений этих интенсивностей позволяет сделать заключения об оптических свойствах атмосферы, т.е. о величинах τ₀, λ, и 𝑥(γ).
В свою очередь по оптическим свойствам атмосферы можно судить о природе частиц, которые её составляют. Для этого используется теория рассеяния света на отдельных частицах (см., например, [4]). Эта теория, разработанная особенно подробно для шаровых частиц, определяет коэффициент поглощения α, альбедо частицы λ и индикатрису рассеяния 𝑥(γ) в зависимости от отношения радиуса частицы к длине волны излучения и от показателя преломления вещества частицы.
Заметим, что в случае рассеяния света молекулами индикатриса рассеяния определяется формулой Рэлея
𝑥(γ)
=
¾
(1+cos²γ)
.
(19.9)
Если же рассеяние света производится частицами, радиусы которых сравнимы с длиной волны излучения, то индикатриса рассеяния обычно оказывается сильно вытянутой вперёд.
2. Полубесконечная атмосфера.
Как уже сказано, атмосферы некоторых планет обладают оптической толщиной, превосходящей по порядку единицу. В этом случае при определении интенсивности излучения, диффузно отражённого атмосферой, приближённо можно считать τ₀=∞.
Сначала мы допустим, что в атмосфере происходит изотропное рассеяние света, т.е. 𝑥(γ)=1. Тогда величина 𝑆 будет функцией только от τ, а интенсивность излучения 𝐼 — функцией только от τ и θ. Поэтому уравнения (19.6) и (19.7) можно переписать в виде
μ
𝑑𝐼(τ,μ,μ₀)
𝑑τ
=
𝐼(τ,μ,μ₀)
-
𝑆(τ,μ₀)
,
(19.10)
𝑆(τ,μ₀)
=
λ
2
+1
∫
-1
𝐼(τ,μ,μ₀)
𝑑μ
+
λ
4
𝐹
exp
⎛
⎜
⎝
-
τ
μ₀
⎞
⎟
⎠
,
(19.11)
где обозначено cos θ=μ, cos θ₀=μ₀ и подчёркнута зависимость величин 𝐼 и 𝑆 от параметра μ₀.
Из уравнений (19.10) и (19.11) можно получить одно интегральное уравнение для определения функции 𝑆(τ,μ₀). Поступая так же, как при выводе уравнения (2.48), находим
𝑆(τ,μ₀)
=
λ
2
∞
∫
0
𝐸₁|τ-𝑡|
𝑆(𝑡,μ₀)
𝑑𝑡
+
λ
4
𝐹
exp
⎛
⎜
⎝
-
τ
μ₀
⎞
⎟
⎠
,
(19.12)
где 𝐸₁ — первая интегральная показательная функция.
Если функция 𝑆(τ,μ₀) известна, то может быть легко определена и интенсивность излучения, выходящего из атмосферы, т.е. величина 𝐼(0,μ,μ₀). Полагая
𝐼(0,μ,μ₀)
=
𝐹ρ(μ,μ₀)
μ₀
,
(19.13)
имеем
ρ(μ,μ₀)
=
1
𝐹
∞
∫
0
𝑆(τ,μ₀)
exp
⎛
⎜
⎝
-
τ
μ
⎞
⎟
⎠
𝑑τ
μμ₀
.
(19.14)
Величина ρ(μ,μ₀) называется коэффициентом яркости или коэффициентом отражения атмосферы.
Интегральное уравнение (19.12) относится к уравнениям типа (3.1), подробно рассмотренным в § 3. В данном случае ядро уравнения (3.1) даётся формулой (3.17), в которой 𝐴(𝑥)=λ/2𝑥, 𝑎=1, 𝑏=∞, а свободный член имеет вид
𝑔(τ)
=
λ
4
𝐹
exp
⎛
⎜
⎝
-
τ
μ₀
⎞
⎟
⎠
.
Пользуясь соотношениями (3.19) и (3.20), мы получаем для коэффициента яркости выражение
ρ(μ,μ₀)
=
λ
4
φ(μ) φ(μ₀)
μ-μ₀
,
(19.15)
в котором функция φ(μ) определяется уравнением
φ(μ)
=
1+
λ
2
μφ(μ)
1
∫
0
φ(μ')
μ+μ'
𝑑μ'
.
(19.16)
Как мы помним, функция φ(μ) уже встречалась в теории звёздных фотосфер (в § 3) и в теории образования звёздных спектров (в § 10). Теперь мы видим, что через ту же функцию выражается коэффициент яркости планетной атмосферы. Значения функции φ(μ) при разных значениях параметра λ приведены на стр. 119.
Соотношения (19.15) и (19.16) мы получили при помощи уравнения (19.12), однако В. А. Амбарцумян показал, что их можно также получить без использования этого уравнения, а именно — при помощи так называемого «принципа инвариантности». Согласно этому принципу отражательная способность полубесконечной среды не изменится, если к ней добавить некоторый слой с теми же оптическими свойствами. Добавляя к полубесконечной среде слой бесконечно малой оптической толщины, определяя все изменения в интенсивности излучения, вносимые этим слоем, и приравнивая их нулю, мы и приходим к указанным соотношениям (см. [1]).
При помощи принципа инвариантности был также найден коэффициент яркости при произвольной индикатрисе рассеяния. В виде примера приведём результат, полученный при простейшей несферической индикатрисе рассеяния
