𝐼
ν
(ℎ)
=
𝑆
⎡
⎣
1
-
𝑒
-𝑡⁰ν(ℎ)
⎤
⎦
,
(16.16)
где 𝑡⁰ν(ℎ) — оптическая толщина хромосферы вдоль луча зрения.
Представляя величину σν в виде σν=𝑛𝑖𝑘ν, где 𝑘ν — коэффициент поглощения, рассчитанный на один атом, мы можем написать
𝑡⁰
ν
=
+∞
∫
-∞
σ
ν
𝑑𝑠
=
𝑘
ν
+∞
∫
-∞
𝑛
𝑖
𝑑𝑠
.
(16.17)
Вводя обозначение
𝑁
𝑖
(ℎ)
=
+∞
∫
-∞
𝑛
𝑖
(ℎ')
𝑑𝑠
,
(16.18)
вместо (16.16) находим
𝐼
ν
(ℎ)
=
𝑆
⎡
⎣
1
-
𝑒
-𝑘ν𝑁𝑖(ℎ)
⎤
⎦
.
(16.19)
Интегрирование соотношения (16.19) по всем частотам даёт
𝐼(ℎ)
=
𝑆
∞
∫
0
⎡
⎣
1
-
𝑒
-𝑘ν𝑁𝑖(ℎ)
⎤
⎦
𝑑ν
.
(16.20)
где 𝐼(ℎ) — полная интенсивность линии.
Уравнение (16.20) даёт возможность определить величину 𝑁𝑖(ℎ) по найденной из наблюдений интенсивности излучения 𝐼(ℎ). Величина 𝑁𝑖(ℎ) представляет собой число атомов в 𝑖-м состоянии, находящихся в столбе с сечением 1 см², проходящем на высоте ℎ от края диска. Эта величина связана с концентрацией атомов 𝑛𝑖(ℎ) уравнением (16.18), которое можно переписать в виде
𝑁
𝑖
(ℎ)
=
√
2𝑅
∞
∫
ℎ
𝑛𝑖(ℎ')
√ℎ'-ℎ
𝑑ν'
.
(16.21)
Решая это уравнение Абеля, мы можем определить искомую величину 𝑛𝑖(ℎ).
Указанный способ нахождения концентрации атомов в хромосфере нельзя считать надёжным, так как он основан на предположении о постоянстве величины 𝑆, которое в действительности не осуществляется. Последнее видно хотя бы из того, что формула (16.16) даёт линию с максимальной интенсивностью в её центре, в то время как наблюдённые профили линий часто имеют седлообразный вид. Поэтому представляет интерес задача об определении из уравнения (16.9) не только концентрации атомов 𝑛𝑖(ℎ) но и величины 𝑆(ℎ) [или величин 𝑛𝑖(ℎ) и 𝑛𝑘(ℎ)]. Однако в настоящее время мы вряд ли располагаем достаточно точными значениями функции 𝐼ν(ℎ) (характеризующей профили хромосферных линий на разных высотах), которые необходимы для решения этой задачи.
Следует подчеркнуть, что наличие самопоглощения в хромосфере не говорит ещё о большой оптической толщине хромосферы вдоль радиуса. Рассмотрим хромосферные слои, высота которых больше ℎ. Оптическая толщина этих слоёв вдоль радиуса равна
τ
ν
(ℎ)
=
𝑘
ν
∞
∫
ℎ
𝑛
𝑖
(ℎ')
𝑑ℎ'
.
(16.22)
Принимая, что концентрация атомов убывает с высотой пропорционально 𝑒-βℎ, получаем
τ
ν
(ℎ)
=
𝑘
ν
𝑛𝑖(ℎ)
β
.
(16.23)
Оптическая же толщина хромосферы для луча, идущего на расстоянии ℎ от края диска, на основании формулы (16.17) равна
𝑡⁰
ν
(ℎ)
=
𝑘
ν
𝑛
𝑖
(ℎ)
⎛
⎜
⎝
2π𝑅
β
⎞½
⎟
⎠
.
(16.24)
Поэтому имеем
τ
ν
(ℎ)
=
𝑡⁰ν(ℎ)
√2π𝑅β
.
(16.25)
Подставляя в полученную формулу β≈10⁻⁸, находим τν(ℎ)≈0,015 𝑡⁰ν(ℎ). Следовательно, даже при больших значениях 𝑡⁰ν(ℎ), т.е. при сильном самопоглощении в линии, величина τν(ℎ) может быть меньше единицы. Можно считать, что в таком случае в хромосфере происходит лишь однократное рассеяние света в спектральной линии. Однако для некоторых сильных линий хромосферного спектра (например, для бальмеровских линий и линий H и K 𝙲𝚊⁺) оптическая толщина хромосферы вдоль радиуса, по-видимому, больше единицы.
3. Распределение атомов по высоте.
На основании изучения спектра хромосферы может быть найдено распределение атомов по высоте. Допустим, что самопоглощение в линии отсутствует. Тогда объёмный коэффициент излучения в линии определяется формулой (16.7). Пользуясь соотношением
4πε(ℎ)
=
𝑛
𝑘
(ℎ)
𝐴
𝑘𝑖
ℎν
𝑖𝑘
,
(16.26)
получаем
𝑛
𝑘
(ℎ)
=
𝑛
𝑘
(0)
𝑒
-βℎ
,
(16.27)
где
𝑛
𝑘
(0)
=
4πε(0)
𝐴𝑘𝑖ℎν𝑖𝑘
.
(16.28)
Чтобы от числа атомов в 𝑖-м состоянии перейти к числу атомов в основном состоянии, обычно применяют формулу Больцмана с некоторой средней температурой возбуждения атомов 𝑇 (хотя при этом возможна значительная ошибка, так как 𝑇 может меняться в хромосфере). Сделав такой переход, имеем
𝑛₁(ℎ)
=
𝑛₁(0)
𝑒
-βℎ
,
(16.29)
где
𝑛₁(0)
=
𝑛
𝑘
(0)
𝑔₁
𝑔𝑘
exp
⎛
⎜
⎝
χ₁-χ𝑘
𝑘𝑇
⎞
⎟
⎠
.
(16.30)
По формуле (16.29) может быть найдено изменение концентрации с высотой для любого атома. Входящие в эту формулу параметры 𝑛₁(0) и β определяются на основании наблюдательных данных (например, данных, приведённых в табл. 19).
Сравним формулу (16.29) с барометрической формулой
𝑛₁(ℎ)
=
𝑛₁(0)
exp
⎛
⎜
⎝
𝑚𝑎𝑔ℎ
𝑘𝑇
⎞
⎟
⎠
,
(16.31)
