Для получения приближённого решения уравнения (15.1) величину 𝐵ν(𝑇) обычно представляют в виде разложения по некоторым функциям от τν с неопределёнными коэффициентами. Например, можно положить
𝐵
ν
(𝑇)
=
𝑎
ν
+
𝑏
ν
τ
ν
+
𝑐
ν
τ
ν
²
.
(15.2)
Подставляя (15.2) в (15.1) и интегрируя, находим
𝐼
ν
(0,θ)
=
𝑎
ν
+
𝑏
ν
cos
θ
+2
𝑐
ν
cos²
θ
.
(15.3)
Коэффициенты 𝑎ν 𝑏ν и 𝑐ν определяются по полученным из наблюдений значениям величины 𝐼ν(0,θ). Вместо выражения (15.2) можно пользоваться формулой:
𝐵
ν
(𝑇)
=
𝑎
ν
+
𝑏
ν
τ
ν
+
𝑐
ν
𝐸₂
τ
ν
,
(15.4)
дающей более правильные результаты как при τν→0, так и при τν→∞. Подставляя (15.4) в (15.1), имеем
𝐼
ν
(0,θ)
=
𝑎
ν
+
𝑏
ν
cos
θ
+
+
𝑐
ν
⎡
⎣
1-cos
θ
ln(1+sec
θ)
⎤
⎦
.
(15.5)
Формулы (15.2) и (15.4) связывают между собой величины τν и 𝑇, т.е. дают оптические глубины в разных частотах на одном и том же уровне в фотосфере (характеризуемом температурой 𝑇). На основании определения оптической глубины мы имеем
α
ν
=-
𝑑τν
𝑑𝑟
=-
𝑑τν
𝑑𝑇
⋅
𝑑𝑇
𝑑𝑟
.
(15.6)
Следовательно, если известна величина τν как функция от 𝑇, то можно найти и величину αν как функцию от 𝑇 (с точностью до постоянного для данного слоя множителя 𝑑𝑇/𝑑𝑟). Тем самым находится эмпирическая зависимость αν от частоты ν на разных глубинах.
Полученная указанным способом зависимость αν от ν была сопоставлена с теоретическим выражением для αν, обусловленным отрицательным ионом водорода. Такое сопоставление с несомненностью подтвердило правильность принимаемого источника поглощения в фотосфере Солнца.
После определения зависимости температуры 𝑇 от τν может быть найдена и зависимость давления 𝑝 от τν. Для этого мы должны воспользоваться уравнением гидростатического равновесия (4.42), которое вместе с уравнением (15.6) даёт
𝑑𝑝
𝑑τν
=
𝑔ρ
αν
.
(15.7)
Для коэффициента поглощения αν возьмём теоретическое выражение (5.14), представив его в виде αν=ρ𝑝𝑒ƒν(𝑇) (так как 𝑛₁=ρ/𝑚H вследствие слабой ионизации водорода в солнечной фотосфере). Поэтому вместо уравнения (15.7) получаем
𝑑𝑝
𝑑τν
=
𝑔
𝑝𝑒ƒν(𝑇)
.
(15.8)
При заданном химическом составе электронное давление 𝑝𝑒 может быть выражено через 𝑝 и 𝑇 при помощи формулы ионизации. Это позволяет проинтегрировать уравнение (15.8), т.е. найти 𝑝 в виде функции от τν. После этого плотность ρ находится из уравнения состояния газа. Для установления связи между оптическими и геометрическими расстояниями в фотосфере можно применить соотношение
𝑟-𝑟₀
=-
∫
𝑑τν
αν
,
(15.9)
где 𝑟₀ — произвольная постоянная. Так как αν зависит от 𝑝 и 𝑇, то для выполнения интегрирования в (15.9) надо использовать найденные выражения этих величин через τν.
Эмпирические модели солнечной фотосферы в общих чертах согласуются с теоретическими моделями, однако между ними имеются и различия. Отчасти эти различия вызваны тем, что в работах по теории фотосфер не вполне точно учитывались некоторые существенные явления (покровный эффект, конвекция и др.).
2. Конвекция и грануляция.
В теории звёздных фотосфер обычно предполагается, что в фотосфере осуществляется лучистое равновесие. Такое предположение мы сделали в гл. I, и на его основе определялась структура фотосферы и рассчитывалось поле излучения в ней. В частности, приведённые в табл. 18 результаты расчёта модели фотосферы Солнца были получены при допущении о лучистом равновесии фотосферы. Однако возникает вопрос о том, будет ли такое состояние фотосферы устойчивым, т.е. будет ли элемент объёма, выведенный каким-либо образом из своего равновесного положения, возвращаться в него под действием существующих в фотосфере сил. Если этого не будет, то в фотосфере возникнут перемещения газовых масс, т.е. конвекция.
Найдём условие наступления конвекции в фотосфере. Для этого допустим, что некоторый элементарный объём испытывает перемещение снизу вверх. Будем считать, что объём при этом перемещении расширяется адиабатически. Тогда температура и плотность в объёме будут изменяться определённым образом (согласно уравнениям адиабаты). Если температура в объёме окажется ниже температуры окружающего газа (а значит, плотность в объёме больше плотности этого газа), то под действием тяготения объём вернётся в исходное положение. Если же температура в объёме окажется выше температуры окружающего газа, то объём будет продолжать подниматься. В последнем случае наступает конвекция.
Таким образом, условие наступления конвекции состоит в том, что адиабатический градиент температуры должен быть меньше градиента температуры при лучистом равновесии, т.е.
⎪
⎪
⎪
𝑑𝑇
𝑑𝑟
⎪
⎪
⎪ад
<
⎪
⎪
⎪
𝑑𝑇
𝑑𝑟
⎪
⎪
⎪луч
.
(15.10)
Полученное неравенство можно привести к более удобному виду. Для этого воспользуемся уравнением гидростатического равновесия (4.42) и уравнением состояния идеального газа (4.43). Из указанных уравнений вытекает
𝑑𝑝
𝑑𝑟
=-
𝑔μ𝑝
𝑅∗𝑇
.
(15.11)
Поэтому находим
-
𝑑𝑇
𝑑𝑟
=-
𝑑𝑇
𝑑𝑝
𝑑𝑝
𝑑𝑟
=
𝑔𝑝
𝑅∗
𝑑 ln 𝑇
𝑑 ln 𝑝
.
(15.12)
Следовательно, вместо (15.10) имеем
⎛
⎜
⎝
𝑑 ln 𝑇
