ν
(𝑠')
𝑑𝑠'
⎞
⎟
⎠
(1.13)
где 𝐼ν(0) — интенсивность излучения при 𝑠=0 (например, интенсивность излучения, входящего в среду).
Безразмерная величина
𝑠
∫
0
α
ν
(𝑠')
𝑑𝑠'
называется оптическим расстоянием между двумя точками. При прохождении излучением единичного оптического расстояния интенсивность излучения уменьшается в 𝑒 раз.
В общем случае (т.е. при αν≠0, и εν≠0), решая уравнение (1.11) относительно 𝐼ν, получаем
𝐼
ν
(𝑠)
=
𝐼
ν
(0)
exp
⎛
⎜
⎝
-
𝑠
∫
0
α
ν
(𝑠')
𝑑𝑠'
⎞
⎟
⎠
+
+
𝑠
∫
0
ε
ν
(𝑠')
exp
⎛
⎜
⎝
-
𝑠
∫
𝑠'
α
ν
(𝑠'')
𝑑𝑠''
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑠'
.
(1.14)
Соотношение (1.14) может быть названо уравнением переноса излучения в интегральной форме.
Мы видим, что в общем случае интенсивность излучения состоит из двух частей. Первая часть представляет собой интенсивность первоначального излучения (в точке 𝑠=0), ослабленного вследствие поглощения на пути от 0 до 𝑠. Вторая часть есть интенсивность излучения, обусловленного испусканием лучистой энергии на пути от 0 до 𝑠 и соответствующим ослаблением его вследствие поглощения на пути от места испускания 𝑠' до рассматриваемого места 𝑠.
3. Уравнение лучистого равновесия.
Полученное выше уравнение переноса излучения (1.11) позволяет находить интенсивность излучения 𝐼ν, если известны коэффициент излучения εν и коэффициент поглощения αν. Однако обычно в задачах о переносе излучения коэффициент излучения εν не является заданным, а зависит от количества лучистой энергии, поглощённой в элементарном объёме, т.е. от величин αν и 𝐼ν. Чтобы найти эту зависимость, надо рассмотреть энергетические процессы, происходящие в элементарном объёме данной среды.
Указанные процессы специфичны для каждой задачи. Мы сейчас рассмотрим энергетические процессы, происходящие в элементарном объёме звёздной фотосферы.
Как уже было сказано во введении к этой главе, в фотосфере нет источников энергии и вырабатываемая внутри звезды энергия переносится через фотосферу лучеиспусканием. Поэтому излучение каждого элементарного объёма фотосферы происходит за счёт поглощаемой им лучистой энергии. Предполагая стационарность фотосферы» мы можем сказать, что каждый элементарный объём фотосферы излучает столько энергии, сколько он поглощает. Такое состояние фотосферы называется состоянием лучистого равновесия.
Разумеется, в состоянии лучистого равновесия находятся лишь фотосферы тех звёзд, которые не претерпевают быстрых изменений с течением времени. Как известно, они составляют огромное большинство звёзд. Именно об этих звёздах и будет идти речь в настоящей главе. Звёзды с быстро меняющимися блеском и спектром (например, новые звёзды) будут рассмотрены позднее (см. гл. VI).
Дадим математическую формулировку условия лучистого равновесия. Для этого найдём количество лучистой энергии, поглощаемое элементарным объёмом, и количество энергии, излучаемое этим объёмом.
Возьмём элементарный объём с площадью основания 𝑑σ и высотой 𝑑𝑟. Пусть на этот объём падает излучение интенсивности 𝐼ν внутри телесного угла 𝑑ω в направлении, образующем угол θ с нормалью к основанию. Количество энергии, падающее на объём в интервале частот от ν до ν+𝑑ν за время 𝑑𝑡, будет равно 𝐼ν𝑑σ cosθ 𝑑ω 𝑑ν 𝑑𝑡. Так как путь, проходимый излучением в объёме, равен 𝑑𝑟 secθ, то из общего количества падающей на объём энергии будет поглощаться в нём доля αν𝑑𝑟 secθ. Следовательно, количество поглощённой энергии будет равно
𝑑σ
𝑑𝑟
𝑑𝑡
α
ν
𝐼
ν
𝑑ν
𝑑ω
.
Чтобы получить полное количество поглощённой объёмом энергии, надо проинтегрировать это выражение по всем частотам и по всем направлениям. В результате находим, что полное количество поглощённой объёмом энергии даётся выражением
𝑑σ
𝑑𝑟
𝑑𝑡
∞
∫
0
α
ν
𝑑ν
∫
𝐼
ν
𝑑ω
.
(1.15)
На основании (1.10) количество энергии, излучаемое объёмом 𝑑σ 𝑑𝑟 внутри телесного угла 𝑑ω в интервале частот от ν до ν+𝑑ν за время 𝑑𝑡, будет равно
ε
ν
𝑑σ
𝑑𝑟
𝑑ω
𝐼
ν
𝑑𝑡
.
Так как энергия в непрерывном спектре излучается элементарным объёмом с одинаковой вероятностью во все стороны, то для полного количества энергии, излучаемого этим объёмом, получаем выражение
4π
𝑑σ
𝑑𝑟
𝑑𝑡
∞
∫
0
ε
ν
𝑑ν
.
(1.16)
Приравнивая друг к другу выражения (1.15) и (1.16), находим
4π
∞
∫
0
ε
ν
𝑑ν
=
∞
∫
0
α
ν
𝑑ν
∫
𝐼
ν
𝑑ω
.
(1.17)
Уравнение (1.17) называется уравнением лучистого равновесия
Уравнение переноса излучения (1.11) и уравнение лучистого равновесия (1.17) принадлежат к числу основных уравнений теории звёздных фотосфер.
4. Геометрическая модель фотосферы.
Уравнение (1.11) представляет собой самую общую форму уравнения переноса излучения. В конкретных случаях вид уравнения переноса излучения определяется принятой системой координат, а также тем, от каких аргументов зависит интенсивность излучения.
Мы можем считать, что звезда обладает сферической симметрией. В этом случае интенсивность излучения 𝐼ν зависит от двух аргументов: от расстояния 𝑟 от центра звезды и от угла θ между направлением излучения и направлением радиуса-вектора. В данном случае мы имеем:
𝑑𝐼ν
𝑑𝑠
=
∂𝐼ν
∂𝑟
𝑑𝑟
𝑑𝑠
+
∂𝐼ν
∂θ
𝑑θ
𝑑𝑠
(1.18)
и
𝑑𝑟
𝑑𝑠
=
cosθ
,
𝑑θ
𝑑𝑠
=-
sinθ
𝑟
.
(1.19)
Поэтому уравнение переноса излучения в случае сферически-симметричной фотосферы принимает вид
cosθ
∂𝐼ν
∂𝑟
-
sinθ
𝑟
∂𝐼ν
∂θ
=-
α
ν
𝐼
ν
+
ε
ν
.
(1.20)
В рассматриваемом случае уравнение лучистого равновесия (1.17) может быть заменено другим, более простым уравнением, имеющим тот же физический смысл. Проинтегрировав уравнение (1.20) по всем частотам и по всем направлениям, получаем
