𝐻
ν
=
2π
∫
0
𝑑φ
π
∫
0
𝐼
ν
cosθ
sinθ
𝑑θ
.
(1.5)
Так как cosθ<0 при θ>π/2, то из формулы (1.5) следует, что поток излучения 𝐻ν является разностью двух положительных величин:
𝐻
ν
=
ℰ
ν
-
ℰ'
ν
,
(1.6)
где
ℰ
ν
=
2π
∫
0
𝑑φ
π/2
∫
0
𝐼
ν
cosθ
sinθ
𝑑θ
(1.7)
и
ℰ'
ν
=-
2π
∫
0
𝑑φ
π
∫
π/2
𝐼
ν
cosθ
sinθ
𝑑θ
.
(1.8)
Величина ℰν представляет собой освещённость площадки с одной стороны, а величина ℰ'ν — освещённость площадки с другой стороны. Таким образом, поток излучения через какую-либо площадку есть разность освещённостей этой площадки.
Отметим важное свойство интенсивности излучения: в пустом пространстве (т.е. при отсутствии в нём поглощения и испускания лучистой энергии) интенсивность излучения не меняется вдоль луча.
Для доказательства этого свойства возьмём на луче две элементарные площадки, расположенные перпендикулярно к лучу на расстоянии 𝑠 друг от друга. Пусть 𝑑σ и 𝑑σ' — площади этих площадок, а 𝑑ω и 𝑑ω' — телесные углы, под которыми с одной площадки видна другая. Рассматривая лучистую энергию, проходящую через обе площадки, мы можем написать: 𝐼ν𝑑σ 𝑑ω=𝐼'ν𝑑σ' 𝑑ω', где 𝐼ν и 𝐼'ν — интенсивность излучения, падающего на одну и другую площадку соответственно. Но 𝑑ω=𝑠²𝑑σ' и 𝑑ω'=𝑠²𝑑σ. Поэтому, как и утверждалось, имеем 𝐼ν=𝐼'ν
Из сказанного, в частности, следует, что интенсивность солнечного излучения на расстоянии от Солнца до Земли такая же, как и при выходе его из Солнца. Очевидно, однако, что плотность и поток излучения убывают по мере удаления от Солнца.
2. Уравнение переноса излучения.
Выше уже было сказано, что в пустом пространстве интенсивность излучения не меняется вдоль луча. Теперь мы допустим, что пространство заполнено средой, способной поглощать и испускать лучистую энергию. В таком случае интенсивность излучения будет меняться вдоль луча, и мы сейчас выведем уравнение, описывающее это изменение. Однако предварительно введём в рассмотрение величины, характеризующие поглощательную и испускательную способность среды.
Пусть на площадку 𝑑σ, расположенную перпендикулярно к направлению излучения, падает излучение интенсивности 𝐼ν внутри телесного угла 𝑑ω в интервале частот от ν до ν+𝑑ν в течение времени 𝑑𝑡. Количество энергии, падающее на площадку, будет равно 𝐼ν𝑑σ 𝑑ω 𝑑ν 𝑑𝑡. Если среда способна поглощать излучение, то на пути 𝑑𝑠 из указанного количества энергии будет поглощена некоторая доля, пропорциональная 𝑑𝑠. Мы обозначим эту долю через αν𝑑𝑠. Таким образом, количество поглощённой энергии на пути 𝑑𝑠 будет равно
α
ν
𝑑𝑠
𝐼
ν
𝑑σ
𝑑ω
𝑑ν
𝑑𝑡
.
(1.9)
Величина αν называется коэффициентом поглощения. Так как доля поглощённой энергии αν𝑑𝑠 есть величина безразмерная, то коэффициент поглощения αν имеет размерность, обратную длине. Заметим, что коэффициент поглощения зависит от частоты излучения и координат данной точки, но не зависит от направления излучения (в изотропной среде).
Если среда способна также излучать энергию, то количество энергии, излучённое объёмом 𝑑𝑉 внутри телесного угла 𝑑ω в интервале частот от ν до ν+𝑑ν в течение времени 𝑑𝑡, будет пропорционально 𝑑𝑉 𝑑ω 𝑑ν 𝑑𝑡. Мы обозначим это количество энергии через
ε
ν
𝑑𝑉
𝑑ω
𝑑ν
𝑑𝑡
(1.10)
и назовём величину εν коэффициентом излучения. Следовательно, коэффициент излучения есть количество энергии, излучаемое единичным объёмом в единичном телесном угле в единичном интервале частот за единицу времени. Коэффициент излучения зависит от частоты ν, от координат данной точки и, вообще говоря, от направления излучения.
Считая величины αν и εν заданными, найдём, как меняется интенсивность излучения вдоль луча. При этом будем предполагать, что поле излучения стационарно, т.е. не меняется с течением времени.
Возьмём элементарный цилиндр, ось которого направлена по данному лучу. Пусть площадь основания,цилиндра равна 𝑑σ, а высота равна 𝑑𝑠 (причём высота мала по сравнению с линейными размерами основания). Рассмотрим излучение, входящее в цилиндр и выходящее из него внутри телесного угла 𝑑ω в интервале частот от ν до ν+𝑑ν за время 𝑑𝑡. Если интенсивность излучения, входящего в цилиндр, есть 𝐼ν, то количество входящей в цилиндр энергии будет равно
𝐼
ν
𝑑σ
𝑑ω
𝑑ν
𝑑𝑡
.
Обозначим интенсивность выходящего из цилиндра излучения через 𝐼ν+𝑑𝐼ν. Тогда количество выходящей из цилиндра энергии будет равно
(𝐼
ν
+𝑑𝐼
ν
)
𝑑σ
𝑑ω
𝑑ν
𝑑𝑡
.
Разница между указанными количествами энергии возникает как за счёт поглощения энергии в цилиндре, так и за счёт испускания энергии цилиндром. Количество энергии, поглощаемой в цилиндре, определяется выражением (1.9). Что же касается энергии, испускаемой цилиндром, то она будет дана выражением (1.10), если мы положим в нём 𝑑𝑉=𝑑σ 𝑑𝑠. Таким образом, получаем
(𝐼
ν
+𝑑𝐼
ν
)
𝑑σ
𝑑ω
𝑑ν
𝑑𝑡
=
𝐼
ν
𝑑σ
𝑑ω
𝑑ν
𝑑𝑡
-
-
α
ν
𝑑𝑠
𝐼
ν
𝑑σ
𝑑ω
𝑑ν
𝑑𝑡
+
ε
ν
𝑑σ
𝑑𝑠
𝑑ω
𝑑ν
𝑑𝑡
,
или, после необходимых сокращений,
𝑑𝐼ν
𝑑𝑠
=-
α
ν
𝐼
ν
+
ε
ν
.
(1.11)
Это и есть искомое уравнение, определяющее изменение интенсивности излучения при прохождении его через поглощающую и излучающую среду. Оно называется уравнением переноса излучения.
В частном случае, когда в среде происходит поглощение лучистой энергии, но нет испускания (т.е. αν≠0, а εν=0), вместо уравнения (1.11) имеем
𝑑𝐼ν
𝑑𝑠
=-
α
ν
𝐼
ν
.
(1.12)
Интегрирование этого уравнения даёт
𝐼
ν
(𝑠)
=
𝐼
ν
(0)
exp
⎛
⎜
⎝
-
𝑠
∫
0
α
