𝑟
ν
=
1
1+𝑡ν⁰
.
(10.15)
Заметим, что величина 1/(1+𝑡ν⁰) представляет собой долю фотосферного излучения, пропущенного атмосферой в частоте ν (вообще говоря, после многократных рассеяний). Величина же 𝑡ν⁰/(1+𝑡ν⁰) есть доля этого излучения, отражённого обратно в фотосферу.
Мы можем переписать формулу (10.15) в несколько другом виде. Входящая в неё величина 𝑡ν⁰/(1+𝑡ν⁰) представляющая собой оптическую толщину атмосферы в частоте ν, равна
𝑡
ν
⁰/(1+𝑡
ν
⁰)
=
∞
∫
𝑟₀
σ
ν
𝑑𝑟
,
(10.16)
где 𝑟₀ — радиус основания атмосферы. Представим объёмный коэффициент поглощения в виде σν=𝑛𝑘ν, где 𝑛 — число атомов в нижнем состоянии для данной линии (или, как иногда говорят, число поглощающих атомов) в 1 см³ и 𝑘ν — коэффициент поглощения, рассчитанный на один атом. Тогда, считая, что 𝑘ν не зависит от места в атмосфере, вместо (10.16) получаем
𝑡
ν
⁰
=
𝑘
ν
𝑁
,
(10.17)
где
𝑁
=
∞
∫
𝑟₀
𝑛(𝑟)
𝑑𝑟
.
(10.18)
Величина 𝑁 есть число поглощающих атомов в столбе с сечением 1 см² над фотосферой. Подставляя (10.17) в (10.15), находим
𝑟
ν
=
1
1+𝑘ν𝑁
.
(10.19)
Если бы для решения системы уравнений (10.5) мы использовали второй приближённый метод (т.е. метод Эддингтона), то получили бы следующее выражение для величины 𝑟ν:
𝑟
ν
=
1
.
1
+
3
𝑘
ν
𝑁
4
(10.20)
Как видим, оно не сильно отличается от выражения (10.19).
2. Модель Эддингтона.
Сделанное выше предположение о разделении внешних частей звезды на два слоя, фотосферу и атмосферу, является довольно грубым. Теперь мы откажемся от этого предположения и будем считать, что в каждом элементарном объёме происходит поглощение и излучение энергии как в непрерывном спектре, так и в линиях. Такую модель внешних слоёв звезды будем называть моделью Эддингтона.
Строго говоря, при принятии модели Эддингтона задачи об образовании непрерывного и линейчатого спектров звёзд следует рассматривать совместно. Однако влияние поглощения и излучения в линиях на возникновение непрерывного спектра невелико и в первом приближении им можно пренебречь (это влияние, как мы знаем из § 8, учитывается во втором приближении в виде так называемого «покровного эффекта»). Следовательно, при решении задачи об образовании линейчатых спектров звёзд все величины, относящиеся к непрерывному спектру, можно считать известными.
Уравнения, определяющие интенсивность излучения внутри линии в случае модели Эддингтона, уже были получены ранее. Одним из них является уравнение переноса излучения (9.1), а другим— уравнение лучистого равновесия (10.1). Уравнение (9.1) можно переписать в виде
cos θ
𝑑𝐼ν
𝑑𝑟
=-
(σ
ν
+α
ν
)
𝐼
ν
+
ε
ν
+
α
ν
𝐵
ν
(𝑇)
.
(10.21)
Здесь мы воспользовались соотношением (9.2), так как считаем справедливым предположение о локальном термодинамическом равновесии для непрерывного спектра. Подставляя (10.1) в (10.21), получаем одно интегро-дифференциальное уравнение для определения величины 𝐼ν:
cos θ
𝑑𝐼ν
𝑑𝑟
=-
(σ
ν
+α
ν
)
𝐼
ν
+
σ
ν
∫
𝐼
ν
𝑑ω
4π
+
α
ν
𝐵
ν
(𝑇)
.
(10.22)
Вводя оптическую глубину в непрерывном спектре τν посредством соотношения 𝑑τν=-αν𝑑𝑟, вместо (10.22) находим
cos θ
𝑑𝐼ν
𝑑τν
=-
(η
ν
+1)
𝐼
ν
-
η
ν
∫
𝑑ω
4π
-
𝐵
ν
(𝑇)
,
(10.23)
где обозначено
η
ν
=
σν
αν
.
(10.24)
Вообще говоря, величина ην является очень сложной функцией от глубины, однако в дальнейшем для простоты мы примем, что ην=const.
Для получения приближённого решения уравнения (10.23) применим метод Эддингтона (см. § 2). Предварительно введём обозначения:
𝐼
ν
=
∫
𝐼
ν
𝑑ω
4π
,
𝐻
ν
=
∫
𝐼
ν
cos θ
𝑑ω
4π
.
(10.25)
Величина 𝐼ν представляет собой среднюю интенсивность излучения в данном месте, а 4π𝐻ν — поток излучения.
Умножив (10.23) сначала на 𝑑ω/4π, а затем на cos θ 𝑑ω/4π, и проинтегрировав по всем телесным углам, находим
𝑑𝐻ν
𝑑τν
=
𝐼
ν
-
𝐵
ν
,
(10.26)
1
3
𝑑𝐼ν
𝑑τν
=
(1+η
ν
)
𝐻
ν
.
(10.27)
Здесь мы использовали приближённое соотношение
∫
𝐼
ν
cos²θ
𝑑ω
4π
=
1
3
𝐼
ν
.
(10.28)
Из уравнений (10.26) и (10.27) получаем следующее уравнение для определения 𝐼ν:
𝑑²𝐼ν
𝑑τν²
=
3(1+η
ν
)
(
𝐼
ν
-
𝐵
ν
).
(10.29)
Для величины 𝐵ν(𝑇), как и раньше, мы возьмём выражение (9.15), т.е. будем считать её линейной функцией от τν. В таком случае частное решение уравнения (10.29) будет просто равно 𝐵ν(𝑇). В качестве общего же решения этого уравнения находим
