cos θ
sin θ
𝑑θ
=
σ𝑇
4
𝑒
.
(6.21)
3) Закон Кирхгофа — Планка, выражающий собой предположение о локальном термодинамическом равновесии:
ε
ν
=
α
ν
2ℎν³
𝑐²
1
𝑒ℎν/(𝑘𝑇)-1
(6.22)
4) Уравнение механического равновесия фотосферы:
𝑑(
𝑝
𝑔
+
𝑝
𝑟
)
=-
𝑔ρ
𝑑𝑟
,
(6.23)
где
𝑝
𝑔
=
𝑅∗
μ
ρ𝑇
,
𝑝
𝑟
=
1
3
𝑎𝑇⁴
.
(6.24)
В приведённых уравнениях заданными величинами являются эффективная температура звезды 𝑇𝑒, ускорение силы тяжести на поверхности звезды 𝑔 и химический состав фотосферы. Кроме того, надо считать заданным выражение для коэффициента поглощения αν, который зависит от химического состава и от физических условий в фотосфере (т.е. от 𝑇 и ρ).
В результате решения этих уравнений получается модель фотосферы, т.е. зависимость температуры 𝑇 и плотности ρ от глубины, а также поле излучения в фотосфере. В частности, при этом определяется теоретический спектр звезды, который может быть сравнён с наблюдаемым спектром.
Основные уравнения теории фотосфер обычно решаются методом последовательных приближений. При этом при построении первого приближения используется средний коэффициент поглощения α и соответствующая ему оптическая глубина τ, и принимается, что температура 𝑇 связана с τ так же, как и в случае независимости коэффициента поглощения от частоты. Иными словами, считается, что
𝑇⁴
=
𝑇
4
𝑒
3
4
⎡
⎣
τ
+
𝑞(τ)
⎤
⎦
,
(6.25)
где
𝑑τ
=-
α
𝑑𝑟
=-
ϰ
ρ
𝑑𝑟
.
(6.26)
Из соотношений (6.23) и (6.26) мы также имеем
𝑑𝑝
𝑑τ
=
𝑔
ϰ
,
(6.27)
где обозначено 𝑝=𝑝𝑔+𝑝𝑟. Так как величину ϰ можно выразить через 𝑇 и 𝑝, а температура 𝑇 выражается через τ формулой (6.25), то интегрирование уравнения (6.27) позволяет получить 𝑝 как функцию от τ. Зная зависимость 𝑇 и 𝑝 от τ, мы можем при помощи соотношения (6.26) перейти от оптической глубины τ к геометрической глубине 𝑧=𝑟₀-𝑟, где 𝑟₀ — произвольное расстояние от центра звезды, принимаемое за нуль-пункт отсчёта глубин.
Очень часто расчёт моделей фотосфер заканчивается на первом приближении. Однако иногда делаются и последующие приближения, для выполнения которых был предложен ряд способов. С целью облегчения вычислений составлены таблицы значений коэффициента поглощения αν и среднего коэффициента поглощения α в зависимости от химического состава, плотности и температуры.
Ниже в виде примеров приводятся результаты расчёта моделей фотосфер для звёзд разных спектральных классов (подробнее см. [6] — [8]).
4. Горячие звёзды.
В фотосферах горячих звёзд поглощение излучения производится в основном водородом и гелием. Как уже было установлено выше, в фотосферах звёзд с эффективными температурами 10 000-20 000 K главная роль в поглощении принадлежит водороду. С увеличением же температуры растёт роль в поглощении гелия. Как увидим дальше, число атомов гелия в фотосферах примерно лишь на порядок меньше числа атомов водорода. Однако в фотосферах холодных звёзд роль гелия в поглощении ничтожна. Объясняется это так же, как и слабое поглощение атомами водорода при низких температурах. Разница состоит лишь в том, что энергия возбуждения гелия ещё больше, чем энергия возбуждения водорода. Поэтому и поглощение атомами гелия начинает сказываться при ещё более высоких температурах. При дальнейшем повышении температуры становится существенным и поглощение ионизованным гелием.
Вместе с тем в фотосферах горячих звёзд важную роль в переносе излучения играет рассеяние света свободными электронами. Это связано с сильной ионизацией атомов водорода и гелия при высоких температурах.
Модели фотосфер горячих звёзд рассчитывались многими авторами. В табл. 2 приведены результаты Травинга, рассчитавшего модель фотосферы звезды 10 Ящерицы (спектральный класс 𝙾9 𝚅, 𝑇𝑒=37 450 К, lg 𝑔=4,45). В последовательных столбцах таблицы даны: оптическая глубина τ, температура 𝑇, логарифм газового давления 𝑝𝑔 логарифм электронного давления 𝑝𝑒 и геометрическая глубина 𝑧 в километрах. Найденное на основе этой модели распределение энергии в непрерывном спектре звезды оказалось в хорошем согласии с наблюдённым распределением (например, вычисленный бальмеровский скачок равен 𝐷=0,044, а наблюдённый 𝐷=0,047).
Таблица 2
Модель фотосферы звезды 10 Ящерицы
τ
𝑇
lg 𝑝
𝑔
lg 𝑝
𝑒
𝑧
в км
0
27 000
-
-
-
0,01
29 000
2,79
2,48
0
0,02
29 700
3,06
2,76
850
0,04
30 000
3,31
3,01
1640
0,06
31 900
3,46
3,16
2090
0,08
32 800
3,56
3,26
2420
0,10
33 500
3,64
3,34
2680
0,20
36 100
3,87
3,58
3520
0,40
38 700
4,09
3,81
4420
0,60
40 800
4,22
3,94
4970
0,80
42 300
4,31
4,03
5390
1,00
43 500
4,37
4,10
5730
2,00
47 800
4,57
4,30
6840
3,00
50 900
4,68
4,41
7580
Результаты других расчётов также подтверждаются наблюдательными данными о распределении энергии в видимой области спектра. В частности, для многих звёзд класса B вычисленные и наблюдённые непрерывные спектры удовлетворительно согласуются между собой во всем интервале от 3400 до 8000 Å.
Однако горячие звёзды основную часть энергии излучают в ультрафиолетовой области спектра. Поэтому большое значение для проверки теории имеют спектрограммы звёзд в ультрафиолетовой области, полученные при внеатмосферных наблюдениях. Изучение этих спектрограмм привело к заключению, что наблюдаемое распределение энергии в спектрах звёзд класса B согласуется с теоретическим. В случае же звёзд класса O обнаружились существенные расхождения, которые были в значительной мере устранены после уточнения модели (в основном за счёт учёта так называемого «покровного эффекта», т.е. поглощения в линиях). Ещё лучшее согласие теории с наблюдениями достигается при отказе от предположения о локальном термодинамическом равновесии в фотосфере (см. ниже).
