при
𝑛=1,
(35.15)
𝑦
=
1
(1+𝑥²/3)¹/²
при
𝑛=5.
(35.16)
Для других значений 𝑛 уравнение (35.12) при граничных условиях (35.13) было решено численно. В астрофизической литературе (например, в [1]) даны подробные таблицы решений уравнения Эмдена.
2. Плотность, давление и температура внутри звезды.
Если считать звезду политропным шаром с заданным политропным индексом 𝑛, то, пользуясь соответствующим решением уравнения Эмдена, можно легко найти распределение плотности, давления и температуры внутри звезды.
На основании формул (35.8) и (35.10) имеем
ρ(𝑟)
=
𝑢₀
𝑛
𝑦
𝑛
(λ𝑟)
.
(35.17)
Следовательно, для нахождения функции ρ(𝑟) надо знать постоянные 𝑢₀ и λ. Для их определения воспользуемся условиями на границе звезды.
Обозначим через 𝑥₁ значение 𝑥 при 𝑥=𝑅. Величина 𝑥₁ находится из того условия, что на поверхности звезды функция 𝑦(𝑥) обращается в нуль, т.е. 𝑦(𝑥₁)=0 Применяя к поверхности звезды вторую из формул (35.10), получаем
𝑥₁
=
λ𝑅
.
(35.18)
Напишем, далее, для границы звезды уравнение гидростатического равновесия. Из уравнений (35.1) и (35.2) следует
⎛
⎜
⎝
1
ρ
𝑑𝑃
𝑑𝑟
⎞
⎟
⎠𝑟=𝑅
=-
𝐺
𝑀
𝑅²
.
(35.19)
где 𝑀 — масса звезды. Пользуясь формулами (35.7), (35.8) и (35.10), вместо (35.19) находим
𝐶(1+𝑛)
𝑢₀λ
𝑦'(𝑥₁)
=-
𝐺
𝑀
𝑅²
.
(35.20)
Подставляя в (35.20) выражение для 𝐶 из (35.11) и выражение для λ из (35.18), получаем
𝑢₀
𝑛
=-
𝑥₁𝑀
4π𝑅³𝑦'(𝑥₁)
.
(35.21)
Таким образом, искомые величины λ и 𝑢₀ даются формулами (35.18) и (35.21). После их определения, как уже сказано, по формуле (35.17) может быть найдена плотность в любом месте звезды.
Очевидно, что величина 𝑢₀𝑛 представляет собой плотность в центре звезды, т.е. ρ𝑐=𝑢₀𝑛. Обозначая через ρ среднюю плотность звезды, имеем
ρ
=
𝑀
.
4
π𝑅³
3
(35.22)
Поэтому формулу (35.21) можно переписать в виде
ρ
𝑐
=-
𝑥₁
3𝑦'(𝑥₁)
ρ
.
(35.23)
В таблице 55, взятой из книги Чандрасекара [3], даны значения величин 𝑥₁ 𝑥₁²𝑦'(𝑥₁) и ρ𝑐/ρ для разных значений политропного индекса 𝑛.
Таблица 5
Зависимость некоторых параметров звезды
от политропного индекса
𝑛
0
1
2
3
4
5
𝑥₁
2,45
3,14
4
,35
6
,90
15
,0
𝑥₁²𝑦'(𝑥₁)
4,90
3,14
2
,41
2
,02
1
,80
1,73
ρ
𝑐
/
ρ
1,00
3,29
11
,4
54
,2
622
При помощи табл. 55 найдём в виде примера плотность в центре Солнца, принимая 𝑛=3. Так как средняя плотность Солнца равна ρ=1,41 г/см³, то для плотности в центре получаем ρ𝑐=54,2ρ=76,5 г/см³.
Давление внутри звезды может быть найдено по формуле (35.6), для чего следует определить величину 𝐶, которая считается постоянной в звезде, но заранее не известной. При помощи формул (35.11), (35.18) и (35.21) имеем
𝐶
=
4π𝐺
1+𝑛
𝑅²
𝑥₁²
⎡
⎢
⎣
𝑥₁𝑀
4π𝑅³𝑦'(𝑥₁)
⎤(𝑛-1)/𝑛
⎥
⎦
(35.24)
Для давления в центре звезды находим
𝑃
𝑐
=
𝐺
4π(1+𝑛)
⎡
⎢
⎣
𝑀
𝑅³𝑦'(𝑥₁)
⎤²
⎥
⎦
.
(35.25)
Чтобы найти температуру внутри звезды, надо задать уравнение состояния звёздного вещества, связывающее между собой температуру, плотность и давление. Мы примем, что звезда состоит из идеального газа. В таком случае в качестве уравнения состояния имеем
𝑃
=
𝑅∗
μ
ρ𝑇
,
(35.26)
где 𝑅∗ — газовая постоянная и μ —средняя молекулярная масса.
Из уравнения (35.26) при помощи соотношений (35.6) и (35.8) для температуры 𝑇 находим
𝑇
=
μ
𝑅∗
𝐶𝑢
.
(35.27)
Таким образом, температура оказывается пропорциональной введённой выше величине 𝑢.
Легко получить, что в центре звезды температура равна
𝑇
𝑐
=-
μ𝐺
(1+𝑛)𝑅∗𝑥₁𝑦'(𝑥₁)
𝑀
𝑇
.
(35.28)
Для Солнца при 𝑛=3 по формуле (35.28) находим: 𝑇𝑐=2⋅10⁷ кельвинов (если считать, что μ=1). Разумеется, эта оценка 𝑇𝑐, как и сделанная выше оценка 𝑝𝑐, является весьма грубой. Однако, как увидим дальше, и более правильные модели звёзд, рассчитанные без предположения о политропной зависимости между давлением и плотностью, приводят к таким же по порядку результатам.
3. Гравитационная энергия звезды.
Для звезды, представляющей собой политропный шар, может быть получена очень простая формула, определяющая гравитационную энергию. Мы обозначим гравитационную энергию звезды через 𝐸. Эта величина отрицательна и численно равна работе, которую надо затратить, чтобы удалить все слои звезды в бесконечность, т.е.
𝐸
=-
𝐺
∫
𝑀𝑟
𝑟
𝑑𝑀
𝑟
,
(35.29)
где интегрирование распространено на всю звезду.
Формулу (35.29) можно переписать в виде
𝐸
=-
𝐺
2
∫
𝑑𝑀𝑟²
𝑟
=-
𝐺𝑀²
2𝑅
-
𝐺
2
∫
𝑀
𝑟
