Однако теория должна не только выяснить строение отдельной звезды, но и объяснить различные статистические закономерности, найденные при рассмотрении совокупности звёзд. Главными из этих закономерностей являются следующие: 1) соотношение масса — светимость и 2) соотношение спектр — светимость (которое может быть также представлено как соотношение светимость — радиус).
При решении указанной основной задачи приходится, разумеется, пользоваться сведениями из теоретической физики. Как уже сказано, эти сведения могут оказаться недостаточными. Однако само изучение звёздных недр может приводить к расширению таких сведений. В качестве примера укажем на то, что поиски источников звёздной энергии способствовали открытию ядерных реакций, связанных с выделением больших количеств энергии. Несомненно, что подобные открытия будут происходить и в дальнейшем.
Теория внутреннего строения звёзд в своём развитии прошла ряд этапов. Первоначально в теории рассматривалось лишь механическое равновесие звезды под действием двух сил: тяготения и газового давления. При этом считалось, что давление пропорционально некоторой степени плотности. Эта теория нашла своё завершение в книге Эмдена [1]. В дальнейшем в уравнение механического равновесия было введено давление излучения и стало рассматриваться энергетическое равновесие звезды. Большое значение на этом этапе имели исследования Эддингтона [2]. Однако фундаментальный вопрос теории — вопрос об источниках звёздной энергии — долгое время оставался нерешённым. Лишь в сороковых годах было установлено, что основным источником звёздной энергии являются ядерные реакции, преобразующие водород в гелий. Это открытие послужило началом современного этапа теории.
На данном этапе разработка теории внутреннего строения звёзд теснейшим образом связывается с решением проблемы звёздной эволюции. Такая связь является совершенно естественной, поскольку структура звезды зависит от химического состава, а он меняется в ходе ядерных реакций.
В настоящей главе теория внутреннего строения звёзд излагается в порядке её развития. При этом первоначальные этапы теории рассматриваются весьма кратко, так как лишь очень немногие из полученных тогда результатов сохранили своё значение до нашего времени.
§ 35. Уравнения равновесия звезды
1. Уравнение механического равновесия.
Будем считать, что звезда обладает сферической симметрией и находится в равновесии под действием силы притяжения и силы газового давления. Пусть 𝑃 — давление и ρ — плотность внутри звезды. Эти величины зависят от расстояния 𝑟 от центра звезды.
Уравнение равновесия под действием указанных сил (т.е. уравнение гидростатического равновесия) имеет вид
𝑑𝑃
=-
𝑔ρ
𝑑𝑟
,
(35.1)
где 𝑔 — ускорение силы тяжести в данном месте звезды. Как известно, в случае сферической симметрии величина 𝑔 определяется формулой
𝑔
=
𝐺
𝑀𝑟
𝑟²
,
(35.2)
где 𝐺 — постоянная тяготения и 𝑀𝑟 — масса, заключённая внутри сферы радиуса 𝑟, т.е.
𝑀
𝑟
=
4π
𝑟
∫
0
ρ𝑟²
𝑑𝑟
.
(35.3)
Подставляя (35.2) в (35.1), получаем
𝑑𝑃
𝑑𝑟
=-
𝐺
𝑀𝑟
𝑟²
ρ
.
(35.4)
Вводя сюда выражение для 𝑀𝑟 приходим к уравнению механического равновесия в виде
1
𝑟²
𝑑
𝑑𝑟
⎛
⎜
⎝
𝑟²
ρ
𝑑𝑃
𝑑𝑟
⎞
⎟
⎠
=-
4π
𝐺ρ
.
(35.5)
Уравнение (35.5) является одним из основных уравнений теории внутреннего строения звёзд.
В уравнение (35.5) входят две неизвестные величины: давление 𝑃 и плотность ρ. Как уже говорилось, на первом этапе развития теории принималось, что эти величины связаны между собой зависимостью
𝑃
=
𝐶
ρ
𝑘
,
(35.6)
где 𝐶 и 𝑘 — постоянные. Такая зависимость между 𝑃 и ρ называется политропной. Таким образом, звёзды первоначально рассматривались как политропные газовые шары.
При помощи (35.6) находим
1
ρ
𝑑𝑃
𝑑𝑟
=
𝐶𝑘
𝑘-1
𝑑ρ𝑘-1
𝑑𝑟
.
(35.7)
Подставляя (35.7) в (35.5) и используя обозначение
ρ
𝑘-1
=
𝑢
,
(35.8)
получаем
𝐶(1+𝑛)
1
𝑟²
𝑑
𝑑𝑟
⎛
⎜
⎝
𝑟²
𝑑𝑢
𝑑𝑟
⎞
⎟
⎠
=-
4π
𝐺𝑢
𝑛
,
(35.9)
где 𝑛=1/(𝑘-1). Величина 𝑛 называется политропным индексом.
Уравнение (35.9), в которое входит одна неизвестная функция 𝑢(𝑟), можно несколько упростить путём введения новых безразмерных переменных. Именно, положим
𝑢
=
𝑢₀𝑦
,
𝑥
=
λ𝑟
(35.10)
и будем считать, что 𝑢₀ есть значение 𝑢 в центре звезды (при 𝑟=0). Что же касается величины λ, то подберём её так, чтобы при подстановке (35.10) в (35.9) сократились все постоянные. Тогда для определения λ получаем соотношение
𝐶(1+𝑛)
λ²
=
4π
𝐺𝑢₀
𝑛-1
,
(35.11)
а уравнение (35.9) принимает вид
1
𝑥²
𝑑
𝑑𝑥
⎛
⎜
⎝
𝑥²
𝑑𝑦
𝑑𝑥
⎞
⎟
⎠
=-
𝑦
𝑛
.
(35.12)
Очевидно, что функция 𝑦(𝑥) должна удовлетворять следующим двум условиям в центре звезды:
𝑦=1,
𝑦'=0,
при
𝑥=0.
(35.13)
Уравнение (35.12), называемое уравнением Эмдена, играло очень большую роль на первом этапе изучения строения звёзд. Исследованию этого уравнения было посвящено много работ. Однако решения уравнения Эмдена в явном виде удалось получить только для трёх значений политропного индекса (𝑛=0, 1, 5). Эти решения при граничных условиях (35.13) имеют вид
𝑦
=
1
-
𝑥²
6
при
𝑛=0,
(35.14)
𝑦
=
sin 𝑥
𝑥
