τ₀(𝑡)
1+τ₀(𝑡)
,
а вероятность прохождения фотона через оболочку равна
1
1+τ₀(𝑡)
.
В начале вспышки величина τ₀(𝑡) очень велика, вследствие чего каждый фотон до своего прохождения через оболочку испытывает огромное число перемещений в полости. С течением времени величина τ₀(𝑡) убывает, процесс выхода фотонов из полости наружу ускоряется и светимость оболочки возрастает.
Для определения светимости оболочки 𝐿(𝑡) следует рассмотреть изменение с течением времени количества энергии в полости, созданной оболочкой. Возрастание количества энергии в полости происходит за счёт излучения звезды, убывание — за счёт выхода излучения из оболочки наружу. На основании закона сохранения энергии получаем
𝐿
∗
(𝑡)
-
𝐿(𝑡)
=
𝑑
𝑑𝑡
⎡
⎢
⎣
4
3
π
𝑟³(𝑡)
ρ(𝑡)
⎤
⎥
⎦
,
(30.16)
где ρ(𝑡) — плотность излучения в полости (не зависящая, очевидно, от места).
Плотность излучения ρ(𝑡) легко можно связать со светимостью оболочки 𝐿(𝑡). Если обозначить через 𝐼₁(𝑡) и 𝐼₂(𝑡) интенсивности излучения, отражённого и пропущенного оболочкой соответственно, то мы имеем
𝐼₁(𝑡)
=
τ₀(𝑡)
𝐼₂(𝑡)
.
(30.17)
Но плотность излучения ρ(𝑡) равна
ρ(𝑡)
=
4π
𝑐
𝐼₁(𝑡)
,
(30.18)
а светимость оболочки 𝐿(𝑡) связана с величиной 𝐼₂(𝑡) соотношением
𝐼₂(𝑡)
=
𝐿(𝑡)
4π²𝑟²(𝑡)
.
(30.19)
Поэтому получаем
ρ(𝑡)
=
𝐿(𝑡)τ₀(𝑡)
π𝑐𝑟²(𝑡)
.
(30.20)
Подстановка (30.20) в (30.16) приводит к следующему уравнению для определения 𝐿(𝑡):
𝐿
∗
(𝑡)
-
𝐿(𝑡)
=
4
3𝑐
𝑑
𝑑𝑡
⎡
⎣
τ₀(𝑡)
𝑟(𝑡)
𝐿(𝑡)
⎤
⎦
.
(30.21)
Очевидно, что решение уравнения (30.21) должно удовлетворять условию
∞
∫
0
𝐿(𝑡)
𝑑𝑡
=
𝐸
+
∞
∫
0
𝐿
∗
(𝑡)
𝑑𝑡
.
(30.22)
Такое решение имеет вид
𝐿(𝑡)
=
3𝑐
4τ₀(𝑡)𝑟(𝑡)
⎡
⎢
⎣
𝐸
exp
⎛
⎜
⎝
-
3𝑐
4
𝑡
∫
0
𝑑𝑡'
τ₀(𝑡')𝑟(𝑡')
⎞
⎟
⎠
+
+
𝑡
∫
0
𝐿
∗
(𝑡')
exp
⎛
⎜
⎝
-
3𝑐
4
𝑡
∫
𝑡'
𝑑𝑡''
τ₀(𝑡'')𝑟(𝑡'')
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑡'
⎤
⎥
⎦
.
(30.23)
Для вычисления светимости оболочки 𝐿(𝑡) по формуле (30.23) надо знать величины 𝑟(𝑡) и τ₀(𝑡). Для примера мы примем
𝑟
=
𝑣𝑡
,
τ₀
=
τ
∗
⎛
⎜
⎝
𝑟∗
𝑟
⎞𝑘
⎟
⎠
.
(30.24)
где 𝑘 — некоторый параметр. Тогда вместо формулы (30.23) получаем
𝐿(𝑡)
=
𝑘𝑏𝑡
𝑘-1
⎛
⎜
⎝
𝐸
𝑒
-𝑏𝑡𝑘
+
𝑡
∫
0
𝐿
∗
(𝑡')
𝑒
-𝑏(𝑡𝑘-𝑡'𝑘)
𝑑𝑡'
⎞
⎟
⎠
,
(30.25)
где обозначено
𝑏
=
3𝑐𝑣𝑘-1
4𝑘τ∗𝑟∗𝑘
.
(30.26)
Допустим сначала, что оболочка светится только за счёт своей внутренней энергии, т.е. 𝐿∗(𝑡)=0 В этом случае из формулы (30.25) видно, что светимость оболочки сначала растёт, а затем убывает (если 𝑘>1). Легко получить, что светимость достигает максимума при значении оптической толщины оболочки, равном
τ₀
=
3
4(𝑘-1)
𝑐
𝑣
.
(30.27)
Полагая 𝑣≈1000 км/с и 𝑘=2, из формулы (30.27) находим τ₀≈200. Когда оптическая толщина оболочки становится в несколько раз меньше этого значения, высвечивание оболочки в основном завершается.
Рассмотрение формулы (30.25) в общем виде показывает, что когда светимость звезды 𝐿∗(𝑡) убывает, то светимость оболочки 𝐿(𝑡) сначала возрастает [примерно до тех пор, пока τ₀ не уменьшится до значения, даваемого формулой (30.27)], а затем убывает, постепенно приближаясь к светимости звезды 𝐿∗(𝑡) (рис. 41).
Рис. 41
Для сравнения теории с наблюдениями целесообразно перейти от светимости оболочки к величинам, которые непосредственно получаются из наблюдений. Такими величинами являются визуальный блеск новой и её эффективная температура (или соответствующий спектральный класс).
Эффективная температура оболочки 𝑇𝑒(𝑡) определяется известным соотношением
𝐿(𝑡)
=
4π
𝑟²(𝑡)
𝑇
𝑒
⁴(𝑡)
,
(30.28)
из которого видно, что величина 𝑇𝑒(𝑡) с течением времени медленно убывает (если только светимость оболочки не возрастает быстрее, чем 𝑟²
Будем считать, что распределение энергии в спектре оболочки даётся формулой Планка. В таком случае абсолютная визуальная величина оболочки определяется формулой
𝑀
𝑣
(𝑡)
=-
0,08
-
5 lg 𝑟(𝑡)
+
29 500
𝑇𝑒(𝑡)
+
+
2,5 lg
⎡
⎢
⎣
1
-
exp
⎛
⎜
⎝
27 000
𝑇𝑒(𝑡)
⎞
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
,
(30.29)
в которую надо подставить 𝑇𝑒 из (30.28).
Из формулы (30.29) следует, что с течением времени должно происходить быстрое возрастание визуального блеска новой, вызванное быстрым увеличением поверхности оболочки при сравнительно медленном падении температуры. Интересно отметить, что возрастание визуального блеска может происходить даже при убывании полной светимости (так как увеличение поверхности оболочки не компенсируется уменьшением температуры).
