(23.29)
Уравнение (23.28) можно рассмотреть для двух предельных случаев. В первом случае предположим, что оптическая толщина туманности в лаймановской континууме мала (τ₀≪1). Тогда ионизация атомов водорода будет происходить в основном под действием излучения, приходящего непосредственно от звезды, и величина ε будет равна
ε
=
∞
∫
ν₁ (ℎν-ℎν₁)
ρν⃰
ℎν 𝑘₁ν 𝑑ν
∞
∫
ν₁
ρν⃰
ℎν 𝑘₁ν 𝑑ν
(23.30)
Для водорода, как известно, 𝑘₁ν∼1/ν³. Поэтому, представляя величину ε в виде
ε
=
𝐴
𝑘𝑇
∗
,
(23.31)
где 𝑘 — постоянная Больцмана, для величины 𝐴 получаем
𝐴
=
∞
∫
𝑥₀
𝑑𝑥
𝑒𝑥-1
∞
∫
𝑥₀
𝑑𝑥
𝑥(𝑒𝑥-1)
-
𝑥₀
,
(23.32)
где 𝑥₀=ℎν₁/𝑘𝑇∗.
Во втором случае примем, что оптическая толщина туманности за границей серии Лаймана велика (τ₀≫1). В этом случае ионизация вызывается как излучением, идущим непосредственно от звезды, так и диффузным излучением самой туманности. Однако при больших значениях τ₀ можно считать, что все кванты, испускаемые при захватах электронов на первый уровень, поглощаются в туманности, т.е. число ионизаций, происходящих под влиянием диффузного излучения, равно 𝐶₁∫𝑛𝑒𝑛⁺𝑑𝑉, а энергия, которую электроны получают при этом, равна 𝐶₁ε₁∫𝑛𝑒𝑛⁺𝑑𝑉. Поэтому и в данном случае диффузного излучения туманности можно не учитывать. Надо только в уравнении (23.28) суммировать величины 𝐶𝑖, и 𝐶𝑖ε𝑖, не от 1, а от 2. Для величины 𝐴 теперь находим
𝐴
=
∞
∫
𝑥₀
𝑥³ 𝑑𝑥
𝑒𝑥-1
∞
∫
𝑥₀
𝑥² 𝑑𝑥
𝑒𝑥-1
-
𝑥₀
.
(23.33)
Значения величины 𝐴, вычисленные по формулам (23.32) и (23.33), приведены в табл. 29.
Таблица 29
Значения величины 𝐴
𝑇
∗
/1 000
I
II
𝐴
𝐴𝑇
∗
/1 000
𝐴
𝐴𝑇
∗
/1 000
20
0,90
18
1,24
25
40
0,83
33
1,46
58
60
0,77
46
1,63
98
80
0,71
57
1,76
141
Из этой таблицы видно, что в принятом интервале звёздных температур энергия ε во втором случае приблизительно в два раза больше, чем в первом. А так как число захватов на первый уровень составляет около половины общего числа захватов, то уравнение (23.28) в обоих случаях должно давать близкие между собой результаты.
Принимая второй из рассмотренных случаев (хотя он далеко не всегда осуществляется в действительности), в дополнение к равенству (23.31) положим
∞
∑
2
𝐶
𝑖
ε
𝑖
+
𝑓
=
𝐵
𝑇
𝑒
𝑘
∞
∑
2
𝐶
𝑖
,
(23.34)
𝐴₄₂
ℎν₂₄
𝑧₄
=
𝐶𝑘
∞
∑
2
𝐶
𝑖
,
(23.35)
∞
∑
2
𝐷
𝑖
ℎν₁
𝑖
+
𝐷
𝑐
ℎν₁
𝑐
=
𝐷𝑘
∞
∑
2
𝐶
𝑖
.
(23.36)
Тогда вместо уравнения (23.28) получаем
𝐴𝑇
∗
=
𝐵
𝑇
𝑒
+
𝐶
𝐼Neb
𝐼𝙷β
+
𝐷
𝑛₁
𝑛⁺
.
(23.37)
Соотношение (23.37) является искомым. Оно связывает между собой температуру звезды 𝑇∗ и электронную температуру туманности 𝑇𝑒. Входящий в это соотношение коэффициент 𝐴 зависит только от 𝑇∗ и дан в табл. 29. Коэффициенты 𝐵, 𝐶 и 𝐷 зависят только от 𝑇𝑒 и приведены в табл. 30.
Таблица 30
Коэффициенты 𝐵, 𝐶 и 𝐷
𝑇
𝑒
/1 000
𝐵
𝐵𝑇
𝑒
/1 000
𝐶/1 000
𝐷/1 000
5
1,002
5
3
0,001
7,5
1,04
8
3
3,0
10
1,06
11
3
2,5
⋅
10
²
12,5
1,08
14
3
2,5
⋅
10
³
12
1,10
17
3
1,6
⋅
10
⁴
При помощи соотношения (23.37) можно найти электронную температуру туманности 𝑇𝑒, если температура звезды 𝑇∗ известна. Для этого надо знать из наблюдений также величины 𝐼Neb/𝐼𝙷β и 𝑛₁/𝑛⁺. Так как линии 𝙽₁ и 𝙽₂ являются самыми яркими в спектрах туманностей, то приближённо мы имеем: 𝐼Neb/𝐼𝙷β≈𝐼𝙽₁+𝙽₂/𝐼𝙷β=4𝐼𝙽₂/𝐼𝙷β. Что же касается величины 𝑛₁/𝑛⁺, то, пользуясь формулами (23.29) и (23.15), мы можем представить её в виде
𝑛₁
𝑛⁺
=
⎛
⎜
⎝
𝑛₁
𝑛⁺
⎞
⎟
⎠₀
⎡
⎢
⎣
ln
⎛
⎜
⎝
𝑛₁
𝑛⁺
⎞
⎟
⎠₀
+1
⎤
⎥
⎦
,
(23.28)
где (𝑛₁/𝑛⁺)₀ — степень ионизации, определённая обычной ионизационной формулой [т.е. формулой (23.15) при τ=0]. Следует отметить, что величину 𝑛₁/𝑛⁺ достаточно знать лишь приближённо, так как коэффициент 𝐷 меняется с изменением электронной температуры очень быстро.
В таблице 31 приведены результаты применения соотношения (23.37) к определению электронных температур ряда планетарных туманностей. В первом столбце таблицы даётся номер туманности, во втором — значение 𝑇𝑒, в трёх последующих столбцах — доли энергии свободных электронов, расходуемой соответственно на излучение в непрерывном спектре, на возбуждение линий «небулия» и на неупругие столкновения с атомами водорода.
