В обычной квантовой механике приближение ВКБ состоит в разложении рассматриваемых величин по степеням постоянной Планка ħ. В нулевом порядке получаются классические траектории; члены высших порядков по ħ описывают квантовые поправки к классическим решениям. В теории поля приближение ВКБ особенно удобно формулировать на языке интегралов по траекториям. Чтобы использовать метод ВКБ, мы теперь не будем полагать постоянную Планка равной единице, а сохраним ее в явном виде в выражении для производящего функционала (39.11):
Z[η]=
∫
∏
x
𝑑φ(x) exp
i
ħ
𝓐
η
[φ],
(40.1)
поля же и импульсы представим в виде рядов
φ(x)=φ
cl
(x)+
ħ
½
φ̃(x)+…,
π(x)=∂
0
φ
cl
(x)+
ħ
½
π̃(x)+…,
(40.2)
и сравним коэффициенты при одинаковых степенях постоянной Планка ħ. Член φcl представляет собой решение классического уравнения движения
∂²φ
cl
+m²φ
cl
=
∂ℒint
∂φ
⎪
⎪
⎪φ=φcl
,
(40.3а)
или, что эквивалентно, имеет вид
φ
cl
(x)=φ
0
(x)+i
∫
𝑑
4
y
Δ
(x-y)
∂ℒint
∂φ
⎪
⎪
⎪φ=φcl
,
(40.3б)
где φ0 — свободное классическое поле, удовлетворяющее однородному уравнению (∂²+m²)φ0=0. Поскольку поле φcl удовлетворяет уравнению движения, действие 𝓐[φcl] достигает на этом поле экстремума: мы разлагаем выражение (40.1) в ряд в окрестности этой стационарной фазы. Нулевой порядок теории возмущений по константе ħ соответствует древесному приближению; поправки старших порядков описывают вклады различных петлевых диаграмм. Применимость этого метода основана на том, что в каждом порядке теории возмущений возникающие интегралы имеют гауссову форму и, следовательно, могут быть вычислены аналитически. Покажем это на примерю вычисления поправки первого порядка. В первом порядке по константе ħ действие 𝓐 имеет вид
𝓐=𝓐[φ
cl
]-
1
2
∫
𝑑
4
x
⎧
⎨
⎩
φ̃(x)(∂²+m²)φ̃(x)-
∂²ℒint(φ)
φ2
⎪
⎪
⎪φ=φcl
φ̃(x)φ̃(x)
⎫
⎬
⎭
.
Проведем замену переменной
φ̃(x)→φ'(x)=
⎧
⎨
⎩
∂²+m²-
∂²ℒint
∂φ²
⎫½
⎬
⎭
φ̃(x),
и для производящего функционала получим следующий результат:
Z=(constant) exp
⎧
⎨
⎩
-
1
2
Tr log
⎡
⎢
⎣
1-
(∂²+m²)
-1
∂²ℒint
∂φ²
⎪
⎪
⎪φ=φcl
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
Z
tree
,
(40.4а)
где, используя (40.3) и соотношение i(∂²+m)Δ(x)=δ(x), производящий функционал древесного приближения Ztree можно записать в виде
Z
tree
=
N exp
i
ħ
⎧
⎨
⎩
∫
𝑑
4
x ℒ
int
(φ
cl
)-
i
2
∫
𝑑
4
x𝑑
4
y
∂ℒint
∂φ(x)
⎪
⎪
⎪φ=φcl
×
Δ
(x-y)
∂ℒint
∂φ(y)
⎪
⎪
⎪φ=φcl
⎫
⎬
⎭
.
(40.4б)
Константа в формуле (40.4а) содержит член
∫
∏
𝑑φ'(x) e
-(i/2)∫
𝑑x φ²(x)
det(∂²+m²)
½
,
где использовано обозначение
det(A
-½
)=exp
⎧
⎨
⎩
-1
2
Tr log A
⎫
⎬
⎭
.
Известно, что существуют такие квантовомеханические состояния системы, для которых классических траекторий не существует. Такая ситуация имеет место, например, при туннелировании через потенциальный барьер. Но метод приближения ВКБ можно распространить и на этот случай. Продемонстрируем это на типичном примере частицы, совершающей в одномерном пространстве движение в потенциале V(x). Волновая функция такой частицы в Приближении ВКБ имеет вид (см., например, [186])
ψ(x)=Ce
i𝓐(x)
,
(40.5)
гдe 𝓐- действие, вычисленное вдоль классической траектории, определяемой уравнением
½mẍ+V(x)=E.
Рис. 30. Потенциалы с несколькими минимумами: а — потенциал с двумя минимумами ; б — периодический потенциал.
Выберем потенциал, имеющий два минимума в точках x=x0 и x1 и обращающийся в этих точках в нуль (рис. 30, а). Если выполняется условие E>max V, движение из точки x0 в точку x1 разрешено, и, исходя из выражения (40.5), для волновой функции ψ можно вычислить амплитуду "рассеяния". Но если выполняется условие E<max V, корректное ВКБ-рассмотрение приводит к результату, согласно которому амплитуда перехода
⟨x
1
|x
0
⟩=Ce
i𝓐(x1,x0)
(40.7)
должна быть заменена амплитудой туннелирования
⟨x
1
|x
0
⟩=Ce
-𝓐(x2,x0)
(40.8)
где действие 𝓐 вычисляется не вдоль траекторий, определяемых уравнением (40.6), а вдоль траекторий, удовлетворяющих уравнению
-½mẍ+V(x)=E.
(40.9)
Мы видим, что для получения амплитуды туннелирования можно использовать ту же формулу, что и для амплитуды перехода, производя лишь формальную замену переменной t на it как в выражении для действия
