Диаграммы с несвязанными графиками не рассматриваются. Читать диаграммы следует против направлений стрелок на ориентированных линиях. Для получения матричных элементов S-матрицы нужно добавить линии, отвечающие начальным и конечным частицам:

(2π)

^-3/2

u(p,σ)

(2π)

^-3/2

v

(p,σ)

(2π)

^-3/2

ε

^μ

(k,λ)

(2π)

^-3/2

ε

^μ

(k,λ)

^*

(2π)

^-3/2

u

(p,σ)

(2π)

^-3/2

v(p,σ)

(2π)

^-3/2

ε

^μ

(k,λ)

^*

(2π)

^-3/2

ε

^μ

(k,λ)

Спиноры и векторы поляризации предполагаются нормированными следующим образом:

∑

^σ

u(p,σ)

u

=

p

+m ,

∑

^λ

ε

^μ

(k,λ)

^*

ε

ν

(k,λ)=-g

^μν

(фейнмановская калибровка).

Эта сводка правил диаграммной техники отличается от правил, приведенных в книге [40], нормировкой спиноров

∑

^σ

u

_BD

u

_BD

=

p+m

2m

,

а также множителями (2π)^-3/2 вследствие разного определения амплитуд 𝓣 и 𝓣_BD

Приложение Д. Фейнмановские правила диаграммной техники для составных операторов

Введем обозначения: γ₊=1, γ_-=γ₅ и Δ — произвольный 4-вектор, удовлетворяющий условию Δ=0. Тогда фейнмановские правила диаграммной техники для составных операторов имеют вид

N=q(0)γ^μ₁…∂^μ_nγ_±q(0)

Δ(Δ⋅k)^k-1γ_±

N=G^μμ₁∂^μ₂…∂^μG

g_μν(Δ⋅k)ⁿk²Δ_μΔ_ν(Δ⋅k)^n-2

-(k_μΔ_ν+Δ_μk_ν)(Δ⋅k)^n-1

N=g

q

_j

(0)γ

^μ₁

…B

_μ

^a

t

_a

^jk

…γ

^μ_n

γ

_±

q

_k

(0)

gt

_a

^ij

Δ

^μ

Δ

_n-2

∑

^j=0

(Δ⋅p

₁

)

^j

(

Δ

⋅p

₂

)

^n-j-2

γ

_±

N=gG^μν₁∂^μ₂…B^μ_i…G

ig

3! ƒ_abc

⎧

⎨

⎩ Δ_ν

⎡

⎣ Δ_λk_μ(Δ⋅p)+p_λΔ_p(Δ⋅k) -g_μλ(Δ⋅p)(Δ⋅k)-Δ_kΔ_λ(p⋅k)

⎤

⎦ +

_n-2

∑

^j=1 (-1)^j(Δ⋅p)^j-1(Δ⋅k)^n-j-2 +

⎡

⎣ (g_μλΔ_ν-Δ_μg_νλ)(Δ⋅k) +Δ_λ(Δ_μk_ν-Δ_νk_μ)

⎤

⎦ (Δ⋅k)^n-2

⎫

⎬

⎭ + перестановки.

См. также работы [125,126].

Приложение Е. Некоторые сингулярные функции

Причинные функции Грина в координатном пространстве задаются формулами

Δ(x;m²)

=

∫

𝑑⁴k

(2π)⁴

e

^-ik⋅x

i

k²-m²+i0

,

D

_μν

^ξ

(x)

=

i

∫

𝑑⁴k

(2π)⁴

e

^-ik⋅x

-g^μν+ξk^μk^ν/(k²+i0)

k²+i0

,

S(x;m)

=

∫

𝑑⁴k

(2π)⁴

e

^-ik⋅x

k+m

k²-m²+i0

.

Иногда мы опускаем аргумент m из обозначений функций Δ и S. Эти же функции можно выразить через вакуумные средние от хронологических произведений:

⟨Tφ(x)φ(0)⟩

₀

Δ

(x;m);

⟨Tq

^j

(x)

q

k

(0)⟩

₀

=δ

^jk

S(x,m),

⟨TB

_μ

^a

(x)B

_ν

^b

(0)⟩

₀

=δ

_ab

D

_μν

^ξ

(x).

Характер функций Грина ясно представлен уравнениями (∂²_x+m²)iΔ(x-y)=δ(x-y) и т.д. Кроме того, справедливо соотношение

S(x,m)=(i∂+m)Δ(x,m)

На световом конусе справедливы разложения

Δ(x,m)²

≃

^x²→0

-1

4π²

⋅

1

x²-i0

+

im²θ(x²)

16π

+

m²

8π²

log

m|x²|^½

2

+…

S(x)

≃

^x²→0

2ix_μγ^μ

(2π)²(x²-i0)²

+…

и т.д. Дополнительные соотношения для функций Грина можно найти в книге [40]⁵⁶⁾. Формулы фурье-преобразований распределений приведены в книге [135]. В тексте использованы формулы