∫
d
2
z e
iq⋅z
⟨p|
Τ
J
μ
a
(z)
+
J
ν
a
(0)|p⟩.
(17.8 а)
Если тензор Τμν записать в виде
Τ
μν
a
=
ν
q2
g
μν
Τ
a
1
(x,Q
2
)+
pμpν
ν
Τ
a
2
(x,Q
2
)
+
i
ε
μναβ
qαpβ
q2
Τ
a
3
(x,Q
2
),
(17.8 б)
то, как показано на рис. 12, д, е,
ƒ
a
i
=
1
2π
Im
Τ
a
i
.
(17.8 в)
Рассмотрим бьеркеновский предел в так называемой системе бесконечного импульса:
p=(p
0
,0,0,p
0
);
q=(ν/2p
0
,√
Q
2
,0,ν/2p
0
);
p
0
≈ν
½
→∞ .
(17.9)
Записав произведение q⋅z в виде
q⋅x=
1
2
(q
0
-q
3
)(z
0
+z
3
)+
1
2
(q
0
+q
3
)(z
0
-z
3
)-
q
1
z
1
,
мы видим, что случай z⋅q=0 в бьеркеновском пределе соответствует приближенным соотношениям
z
0
±z
3
≈1/ν
½
,
z
1
≈1/ν
½
.
Иными словами z2→0 28).
28) В действительности компоненту z2 можно сделать сколь угодно большой. Однако этому соответствует z2<0. При этом в силу локального характера теории коммутатор [J(z),J(0)] равен нулю; ненулевой вклад возникает только в случае z2,2∼z2,0, т.е. при z2∼0.
Из хорошо известного свойства фурье-преобразования следует, что при фиксированном значении переменной x поведение фурье-образа коммутатора токов в (17.2 б) или хронологического произведения в (17.8 а) при больших значениях переменной q определяется областью z2≈O(1/q2), иными словами, поведением коммутатора или хронологического произведения адронных токов
[J
μ
(z)+,J
ν
(0)]
или
Τ
J
μ
(z)J
ν
(0)
(17.10)
на световом конусе.
Рис. 13. Партонная модель.
Учитывая явление асимптотической свободы, следует ожидать, что эти коммутаторы и хронологические произведения можно вычислить с точностью до логарифмических поправок, пренебрегая взаимодействием кварков и рассматривая адронную мишень как совокупность свободных кварков. Такая модель, названная партонной моделью, была предложена Фейнманом [119]. Чтобы понять некоторые следствия этой модели, рассмотрим процесс глубоконеупругого ep-рассеяния. Обозначим через qƒ(x) вероятность обнаружения в адроне кварка аромата ƒ, обладающего долей импульса x . Тогда полное сечение реакции e+p→e+all получается некогерентным суммированием (кварки считаются свободными) взвешенных множителем qƒ(x) сечений, процессов e+ƒ→e+ƒ (рис. 13), вычисление которых не представляет трудностей. Отсюда немедленно находим ƒep2(x,Q2)= ƒep1(x,Q2) и
ƒ
ep
2
(x,Q
2
)
=
Q2→∞
x
∑
ƒ
Q
2
ƒ
q
ƒ
(x).
(17.11)
Следует заметить, что сумма по индексу ƒ распространяется также на антикварки, так как ожидается, что вероятность обнаружения внутри протона антикварка не равна нулю. Несколько ниже мы перепишем выражение (17.11) в более подробной форме, конкретизируя некоторые свойства различных плотностей распределения кварков qƒ(х).
Замечательной особенностью выражения (17.11) является скейлинг. Скейлинг был предсказан Бьеркеном [39] еще до возникновения партонной модели, которая, по существу, была введена для его объяснения. Скейлинг означает, что в пределе Q2→∞ структурные функции ƒai(x,Q2) становятся не зависящими от переменной Q2 :
ƒ
a
i
(x,Q
2
)
→ƒ
a
i
(x)
(17.12)
при Q2→∞ и фиксированном x .
Как будет показано ниже, КХД подтверждает наличие скейлинга в том смысле, что в рамках квантовой хромодинамики предсказывается его существование с точностью до логарифмических поправок (log Q2/Λ2)2. Более того, эти поправки можно вычислить, и полученные результаты подтверждаются экспериментальными измерениями нарушения скейлинга.
§18. Операторное разложение
Для строгого анализа произведения операторов, взятых в точках, разделенных малым или светоподобным интервалом, служит метод операторного разложения (operator product expansion — OPE)29). Обсуждение этого метода начнем с простейшего случая хронологического произведения двух свободных безмассовых скалярных полей Τφ(x)φ(y). В пределе x→y это произведение сингулярно. Но сингулярность представляет собой просто c-число. Ее можно выделить из Τ-произведения, записав его в виде
29) Метод операторного разложения был предложен Вильсоном [268], а затем развит для случая малых расстояний в работах [270, 281] и др. Случай операторов, взятых на световом конусе, рассмотрен в работах [51, 128]. Для расчетов процессов глубоконеулругого рассеяния этот метод был применен в работе [70]; использование операторного разложения в КХД обсуждается в статьях [142, 161, 162].
Τ
φ(x)φ(y)
=
Δ(x-y)1
+
:φ(x)φ(y): ,
где 1 — единичный оператор, а Δ — пропагатор скалярного поля
Δ(x)=
1
(2π)4
