Также легко вычислить одновременные коммутационные соотношения для аксиальных A или векторных V токов и полей. Используя преобразования (10.3), для свободных полей получаем
δ(x
0
-y
0
)
[
V
0
qq'
(x),q''(y)]=-δ(x-y)δ
qq''
q'(x)
,
δ(x
0
-y
0
)
[
A
0
qq'
(x),q''(y)]=-δ(x-y)δ
qq''
γ
5
q'(x)
и т.д.
(10.7)
Векторные и аксиальные токи коммутируют с полями глюонов и ду́хов. Одновременные коммутационные соотношения между аксиальными и векторными токами, построенными из свободных полей, проще всего записать, введя матрицы Гелл-Манна λα, действующие в цветовом пространстве (см. приложение В). Если рассматривать кварки трех ароматов (ƒ= 1,2,3) и определить векторные и аксиальные токи в виде
V
μ
α
(x)=
∑
ƒƒ'
q
ƒ
(x)
λ
α
ƒƒ'
γ
μ
q
f'
(x) ,
A
μ
α
(x)=
∑
ƒƒ'
q
ƒ
(x)
λ
α
ƒƒ'
γ
μ
γ
5
q
f'
(x) ,
(10.8)
то возникают следующие коммутационные соотношения:
δ(x
0
-y
0
)[V
0
α
(x),V
μ
β
(y)]=2iδ(x-y)Σƒ
αβδ
V
δ
δ
(x) ,
δ(x
0
-y
0
)[V
0
α
(x),A
μ
β
(y)]=2iδ(x-y)Σƒ
αβδ
A
δ
δ
(x) ,
δ(x
0
-y
0
)[A
0
α
(x),A
μ
β
(y)]=2iδ(x-y)Σƒ
αβδ
V
δ
δ
(x) и т.д.
(10.9)
Соотношения (10.7) и (10.9) получены для токов, составленных из свободных кварковых полей. Однако благодаря наличию δ-функции в правых частях (10.7) и (10.9) они эффективны только для малых расстояний; следовательно, в квантовой хромодинамике из-за свойства асимптотической свободы они остаются справедливыми в таком виде даже при учете взаимодействий между полями кварков и глюонов.
Также, легко вычислить одновременные коммутационные соотношения для сохраняющихся или квазисохраняющихся токов с гамильтонианом (или лагранжианом). Если ток Jμ сохраняется, то соответствующий ему заряд QJ имеет вид
Q
J
=
∫
d
⃗
xJ
0
(t,
⃗
x)
,
t=x
0
.
Он является интегралом движения и, следовательно, коммутирует с гамильтонианом:
[Q
J
(t),ℋ(t,
⃗
y)]=0.
Здесь ℋ — гамильтониан (плотность функции Гамильтона системы); он связан с тензором энергии-импульса соотношением ℋ=Θ00. Обозначим массовый член, входящий в гамильтониан ℋ, через ℋ':
ℋ'=
∑
q
m
q
q
q.
Тогда, если ток J является квазисохраняющимся, то справедливо соотношение
[Q
J
(t),ℋ'(t,
⃗
y)]=i∂
μ
J
μ
(t,
⃗
y).
Конечно, заряд QJ по-прежнему коммутирует с остальными членами гамильтониана ℋ.
§ 11. Ренормализационная группа
Рассмотрим, например, перенормировку кваркового пропагатора. В калибровке Ферми — Фейнмана в рамках μ-схемы
S
(μ)
R
(p;g,m)=i
1-(4/3)g
2
A
(μ)
R
(p
2
)
p
-m{1-(4/3)g
2
B
(μ)
R
(p
2
)}
.
(11.1 а)
где
A
(μ)
R
(p
2
)=
2
∫
1
16π
2
0
dx(1-x)
xm
2
+x(1-x)μ
2
xm
2
-x(1-x)p
2
,
B
