+𝓐
FP
),
(41.10а)
где действие, соответствующее ду́хам Фаддеева - Попова, имеет вид
𝓐
FP
=
∫
𝑑
4
x
∑
(∂
μ
ω
a
(x))
⎡
⎣
δ
ab
∂
μ
-gƒ
abc
B
μ
c
(x)
⎤
⎦
ω
b
(x),
(41.10б)
что согласуется с результатом, полученным в § 5.
Чтобы получить функции Грина, необходимо ввести антикоммутирующие источники ηa,ηa; ξiƒ,ξiƒ для ду́хов ωa,ωa и кварков qiƒ,qiƒ соответственно и коммутирующие источники λμa для глюонных полей Bμa. Таким образом, нашей отправной точкой является функционал
Z[η,
η
;ξ,
ξ
;λ]
=
∫
(𝑑q)(𝑑
q
)
(𝑑ω)(𝑑
ω
)
(𝑑B)
×
exp i
∫
𝑑
4
x
⎧
⎨
⎩
ℒ
ξ
QCD
+ℒ
λ
⎫
⎬
⎭
,
(41.11а)
где лагранжиан ℒξQCD описывается формулой (5.11), а
ℒ
λ
=
∑
⎧
⎨
⎩
η
a
ω
a
+
ω
a
η
a
+
ξ
iƒ
q
i
ƒ
+
q
i
ƒ
ξ
iƒ
+λ
aμ
B
μ
a
⎫
⎬
⎭
.
(41.11б)
Формализм функциональных интегралов позволяет ввести чрезвычайно красивый метод, так называемый метод фоновых полей53), который обладает тем преимуществом, что эффективное действие, фигурирующее в этом методе (см. § 39), калибровочно-инвариантно . Это равносильно рассмотрению фиксирующего калибровку условия
53) Этот метод впервые был введен де Виттом и обобщен (в частности, на калибровочные теории) т’Хофтом.
K[B]=
∑
⎧
⎪
⎩
∂
μ
B
μ
a
+g∑ƒ
adc
b
μ
d
B
cμ
⎫²
⎪
⎭
,
где b — классические "фоновые" поля, сдвигающие глюонные поля B→B+b, и вычислению функциональных производных по полям b. Подробное изложение и ссылки на литературу можно найти в работе [3].
§ 42. Фейнмановские правила диаграммной техники
В § 39 утверждалось, что разложение функций Грина по степеням константы взаимодействия g, возникающее из (41.11), воспроизводит обычные фейнмановские правила диаграммной техники, которые были получены выше на основе разложения полевых операторов по операторам рождения и уничтожения и применения теоремы Вика. Правила Фейнмана можно вывести иначе, исходя из формул (41.11). Покажем это на примере трех типичных величин: глюонного пропагатора, вершины взаимодействия ду́хов и глюонов и несинглетных составных операторов, фигурирующих в формулах процессов глубоконеупругого рассеяния.
Для получения глюонного пропагатора рассмотрим соотношение
⟨TB̂
μ
a
(x)B̂
ν
a
(y)⟩
0
|
g=0
=(-i)²
δ2log Z
∂λaμ(x)δλbν(y)
⎪λ=0
⎪
⎪g=0
.
(42.1)
Здесь мы снова для обозначения операторов пользуемся символами с "крышками". Повторяя рассуждения § 39 и вводя для калибровочного параметра обозначение λ=a-1, с точностью до 4-дивергенции можем написать цепочку равенств
-1
4
∑
⎡
⎣
∂
ρ
B
σ
a
(x)-∂
σ
B
ρ
a
(x)
⎤
⎦
⎡
⎣
∂
ρ
B
aσ
(x)-∂B
aρ
(x)
⎤
⎦
-
a-1
2
∑
⎡
⎣
∂
τ
B
τ
a
(x)
⎤²
⎦
=
1
2
∑
B
σ
a
(x)
⎡
⎣
∂²B
aσ
(x)-(1-a
-1
∂
σ
∂
ρ
B
aρ
(x)
⎤
⎦
+∂
μ
ƒ
μ
=
1
2
∑
a,b
B
aσ
(x)(K
-1
)
σρ
ab
B
bρ
(x)+∂
μ
ƒ
μ
,
где множитель K имеет вид
(K
-1
)
σρ
ab
=
δ
ab
⎧
⎨
⎩
g
σρ
∂²
∂x²
-(1-a
-1
)
∂
∂xσ
∂
∂xρ
⎫
⎬
⎭
.
(42.2)
Полагая теперь источники η, η, ξ, ξ, константу взаимодействия g в формулах (41.11) равными нулю, для производящего функционала получаем
Z
=
∫
(𝑑q)(𝑑
q
)
(𝑑ω)(𝑑
ω
)
(𝑑B)
×
exp i
∫
𝑑
4
x
⎧
⎨
⎩
i
q
(x)
q
(x)+
1
2
∑
B
aσ
(x)
(K
-1
)
σρ
ab
B
bρ
(x)
+
∑
λ
aμ
(x)B
μ
a
(x)
⎫
⎬
⎭
.
(42.3)
Интегралы по переменным q, q, ω и ω приводят к константе, которая сокращается при вычислении логарифмической производной. Если провести замену переменной
