B→B'=K
-½
B,
то формула (42.3) примет вид
Z
=
(constant)
∫
(𝑑B')J(K)
×
exp i
∫
𝑑
4
x
∑
⎧
⎨
⎩
1
2
B''
aμ
(x)B''
μ
a
(x)-
λ
aμ
(x)(Kλ)
μ
a
(x)
⎫
⎬
⎭
.
где J(K) — якобиан преобразования. Наконец, заменим переменную интегрирования
B'→B''=B'+K
½
λ,
так что производящий функционал теперь описывается формулой
Z
=
(constant)
∫
(𝑑B'')J(K)
×
exp i
∫
(𝑑
4
x
∑
⎧
⎨
⎩
1
2
B''
aμ
(x)B''
μ
a
(x-)
1
2
λ
aμ
(x)(Kλ)
μ
a
(x)
⎫
⎬
⎭
.
(42.4а)
Множитель K удобно представить в интегральной форме
(Kƒ)
μ
a
(x)=-i
∑
∫
𝑑
4
y D
μν
ab
(x-y)ƒ
bν
(y);
(42.4б)
тогда для логарифмической производной производящего функционала получаем
δ2log Z
δλaμ(x)δλbν(y)
⎪
⎪
⎪
sources=0
g=0
=-D
μν
ab
(x-t).
Форма пропагатора D следует из его определения. Она такова, что выполняется соотношение
～
(K-1ƒ')
μ
(x)=
∑
δ
ab
{g
μν
∂²-(1-a
-1
)∂
μ
∂
ν
}ƒ'
bν
(x);
поэтому, проводя фурье-преобразование, обозначенное тильдой над соответствующей величиной, получаем
(K
-1
ƒ')
μ
a
(k)=
∑
δ
ab
{-g
μν
k²+(1-a
-1
)k
μ
k
ν
}ƒ̃'
bν
(k);
отсюда, полагая
～
Kƒ'
=ƒ,
сразу получаем результат
～
(Kƒ)
μ
a
(a)=
∑
δ
ab
-gμν+(1-a)kμkν/k2
k2
ƒ̃
bν
(k).
Таким образом, как и ожидалось, пропагатор глюонного поля имеет вид
⟨TB̃
μ
a
(x)B̃
ν
a
(y)⟩
0
|
g=0
=
D
μν
ab
(x-y)
=
δ
ab
i
(2π)4
∫
𝑑
4
k
e
-ik⋅(x-y)
-gμν+(1-a)kμkν/k2
k2
a
=
λ
-1
.
(42.5)
Доказательство того, что обход полюсов в выражении (42.5) задается добавкой +i0, требует либо рассмотрения асимптотических состояний, либо каких-нибудь других граничных условий на глюонный пропагатор. Эти условия можно найти в работе [112].
Для получения вершины взаимодействия ду́хов с глюонами требуется рассмотреть величину
⟨T
ω̂
a
(x
1
)ω̂
b
(x
2
)B̂
μ
c
(x
3
)⟩
0
⎪
⎪
⎪1-й порядок по g
=
=
iδ3log Z
δηa(x1)δηb(x2)δλcμ(x3)
⎪λ=0
⎪
⎪1-й порядок по g
(42.6)
Обозначим через k оператор Клейна - Гордона, задаваемый соотношением kƒ(x)=∂²ƒ(x)53а). Произведем замену переменных B→B'=K-½B, ω→ω'=K-½ω, ω→ω'=K-½ω и проинтегрируем по кварковым полям, которые в данном рассмотрении не играют роли. Тогда для производящего функционала Z получаем
53а) Обычно этот оператор называется оператором Даламбера. — Прим. перев.
Z
=
(constant)
∫
(𝑑ω')(𝑑
ω
')(𝑑B')J(k)J(k)
×
exp i
∫
𝑑
4
x
∑
⎧
⎨
⎩
g
⎡
⎣
∂
μ
(k
½
ω
')
a
(x)
⎤
⎦
ƒ
abc
(K
½
B')
μ
c
(x)(k
½
ω')
b
(x)
+
½B'
2
-
ω
'ω+
η
(x)(k
½
ω')
a
(x)
+
(k
½
ω
')
a
(x)η
a
(x)+λ
μ
a
(x)(K
½
B')
aμ
(x)+…
⎫
⎬
⎭
,
где многоточие обозначает члены, обращающиеся в нуль при g²=0 и нулевых значениях источников. Произведем затем преобразования переменных
B'→B''=B'-K
½
λ,
ω→ω''=ω'+k
½
η,
ω
→
ω
''=
ω
'+k
½
η
.
Единственный член, дающий вклад в рассматриваемую вершину, содержит произведение всех трех источников и имеет вид
