g
∑
(∂
μ
(k
η
)
a
(x))ƒ
abc
(Kλ)
μ
c
(x)(kη)
b
(x);
таким образом, для вершины взаимодействия ду́хов и глюонов получаем формулу
⟨T
ω
̂
a
(x
1
)ω̂
b
(x
2
)B̂
μ
c
(x
3
)⟩
0
⎪
⎪
⎪1-й порядок по g
=
∫
𝑑4p1
(2π)4
e
-ix1⋅p1
i
p
2
1
∫
𝑑4p2
(2π)4
e
-ix2⋅p2
i
p
2
2
∫
𝑑4p3
(2π)4
e
-ix3⋅p3
×
i
-g
μν
+(1-λ
-1
)p
μ
3
p
ν
3
/p
2
3
p
2
3
(2π)
4
δ(p
1
+p
2
+p
3
)gƒ
cba
p
1ν
снова в полном соответствии с ожидаемым результатом.
Наконец, рассмотрим вершину
⟨T
q
̂
1
(x
1
)N̂
μ1…μn
NS
(x
2
)q̂
2
(x
3
)⟩
0
(42.7)
в нулевом порядке теории возмущений по константе взаимодействия g, где операторы N (см. § 19) имеют вид
N̂
μ1…μn
NS
(x)
=
½i
n-1
𝚂
:
q
̂
2
(x)γ
μ1
D̂
μ2
…D̂
μn
q̂
1
(x):
-
члены, содержащие свертки
(42.8)
Чтобы вычислить величину (42.7), введем в выражение (41.11) новый источник
j
μ1…μn
N
μ1…μn
NS
(x),
так что
⟨T
q
̂
1
(x
1
)N̂
μ1…μn
NS
(x
2
)q̂
2
(x
3
)⟩
0
=
iδ3log Z
δξ1(x1)δξ2(x3)δjμ1…μn(x2)
⎪
⎪
⎪
g=0
источники=0
(42.9)
В нулевом порядке по константе взаимодействия g глюоны или ду́хи никакой роли не играют, и по ним можно провести интегрирование. Аналогично ковариантные производные оператора N можно заменить обычными производными.
Кварковые поля рассматриваются так же, как поля глюонов или ду́хов. Используя определения
q'
ƒ
=S
½
q
ƒ
,
q
'
ƒ
q
ƒ
S
-½
, ƒ=1,2,
где матрица S задается соотношениями
S
-1
q
ƒ
(x)=
∂
q
ƒ
(x),
q
ƒ
(x)
S
-1
=
q
ƒ
(x)
∂
,
находим, что в нулевом порядке по константе связи g производящий функционал описывается выражением
Z
=
(constant)
∫
(𝑑q)(𝑑
q
)J(S)J(
S
)
×
exp i
∫
𝑑
4
x
⎧
⎨
⎩
q
'
1
q'
1
+
q
'
2
q'
2
+
ξ
1
S
½
q'
1
+
ξ
2
S
½
q'
2
+
(
q
'
1
S
½
)ξ+(
q
'
2
S
½
)ξ
2
+(
S
½
N
'μ1…μn
NS
S
½
)j
μ1…μn
⎫
⎬
⎭
.
(42.10)
Проведем замену переменных
q''
ƒ
=q'
'ƒ
+s
½
ξ
ƒ
,
Единственный член, содержащий все три источника ξ1, ξ2 и j имеет вид
S
N
μ1…μ1
NS
Sj
μ1…μ1
≡
½i
i-1
⎧
⎨
⎩
𝚂(
ξ
1
S
-1
(x)γ
μ1
⃗
∂
μ1
…
⃗
∂
μn
(S
-1
ξ
1
)(x)-свертки
⎫
⎬
⎭
j
μ1
…μ
n
(x)
так что, используя явное выражение для матрицы S, получаем
⟨T
q
̂
1
(x
1
)N̂
μ1…μn
NS
(x
2
)q̂
2
(x
3
)⟩
0
=
