∫
𝑑4p2
(2π)4
e
-ip2⋅x2
∫
𝑑4p1
(2π)4
e
-ip1⋅x1
i
p 1
1
2
⎧
⎨
⎩
𝚂γ
μ1
p
μ2
3
…p
μn
3
-свертки
⎫
⎬
⎭
×
∫
𝑑4p3
(2π)4
e
-ip3⋅x3
i
p3
(2π)
4
δ(p
1
+p
2
-p
3
).
Полученную формулу можно упростить, введя вектор Δμ, удовлетворяющий условию Δ²=0, и свернув его с выражением (42.11):
Δ
μ1
…
Δ
μn
⟨T
q
̂
1
(x
1
)N̂
μ1…μn
NS
(x
2
)q̂
2
(x
3
)⟩
0
=
∫
𝑑4p2
(2π)4
e
-ip2⋅x2
∫
𝑑4p1
(2π)4
e
-ip1⋅x1
i
p 1
Δ
(
Δ
⋅
3
)
n-1
∫
𝑑4p3
(2π)4
e
-ip3⋅x3
i
p 3
×
(2π)
4
δ(p
1
+p
2
-p
3
).
(42.12)
Результат автоматически оказывается симметричным по индексам; члены, содержащие следы от произведений векторов Δμ (члены вида gμμ'ΔμΔμ'), обращаются в нуль. Конечно, вершину можно восстановить дифференцированием полученного результата по компонентам векторов Δ(∂/∂Δμ1)…(∂/∂Δμn). Уравнение (42.12) приводит к фейнмановским правилам диаграммной техники, приведенным в приложении Д и используемым в § 20.
§43. Евклидова формулировка квантовой хромодинамики
Рассмотрим тензор энергии-импульса для чисто янг-миллсовской КХД, описываемый выражением (10.2). Вклад кварковых полей в этот тензор не включается; вообще кварки не имеют отношения к вопросам, рассматриваемым в этом и следующих двух параграфах. Выражение для чисто янг-миллсовского тензора энергии-импульса можно записать в виде
Θ
μν
=-
1
2
g
αβ
∑
a
G
μα
a
G
νβ
a
-
1
2
g
αβ
∑
a
G
̃
μα
a
G
̃
νβ
a
.
(43.1)
Отсюда следует, что нулевая компонента Θ00 для реальных глюонных полей положительна:
Θ
00
=
1
2
∑
k,a
⎧
⎨
⎩
(G
0k
a
)²+(G
̃
0k
a
)²
⎫
⎬
⎭
.
(43.2)
Таким образом, условие Θμν=0 выполняется только в том случае, когда G≡0 и, следовательно, с вакуумом можно отождествить только состояние, в котором отсутствуют глюонные поля. Но выражение (43.2) не обладает определенным знаком, если допустить, что тензор глюонного поля Gμν может принимать комплексные значения. Особенно важен случай, когда комплексный тензор Gμν определенный в пространстве Минковского, соответствует вещественному тензору глюонных полей Gμν, определенному в евклидовом пространстве-времени. Как обсуждалось в конце § 40, такая ситуация свидетельствует о возможном туннельном переходе. Это является основанием для того, чтобы искать решения уравнений КХД в евклидовом пространстве53б).
53б) Такая процедура обычно называется евклидовой формулировкой КХД или евклидовой формулировкой теории поля. Величины, определяемые в евклидовом пространстве-времени, мы будем отличать от соответствующих величин, определенных в пространстве Минковского, подчеркивая их снизу. Кроме того, суммы по повторяющимся пространственно-временным индексам мы будем выписывать в явном виде.
Другая причина заключается в том, что в пространстве Минковского
∼
∼
G
μν
a
=-G
μν
a
,
поэтому дуальными
G
̃
=±G.
(43.3)
могут быть только тривиальные полевые конфигурации G=0. (Если в правой части равенства (43.3) стоит знак +, то говорят, что тензор G самодуален, если знак -, то тензор G антидуален.) В евклидовом же пространстве справедливо равенство
∼
∼
G
=±G
.
так что могут существовать и в действительности существуют нетривиальные дуальные полевые конфигурации G. Кроме того, дуальные евклидовы поля G автоматически удовлетворяют уравнениям движения. Это происходит по следующим причинам: уравнения движения для глюонных полей имеют вид (вспомним уравнение (3.6))
D
μ
G
μν
a
≡
∂
ν
G
μν
a
g
∑
ƒ
abc
B
bμ
G
μν
c
=0;
(43.4)
условие
D
μ
G
̃
μν
a
=0
(43.5)
представляет собой не что иное, как тождество Бьянки, которому удовлетворяет любой тензор G=D×B, независимо от того, является или нет поле B решением уравнений движения. Но если тензор G дуален, то, как показано в работе [ 219], из (43.5) следует соотношение (43.4).
Связь с проблемой вакуума возникает в силу того, что в евклидовом пространстве формула (43.1) для тензора энергии-импульса янг-миллсовских полей заменяется выражением вида
Θ
μν
=-
