56)Наши причинные функции отличаются от причинных функций, введенных в книге [40], множителем i: S=iSBD, D=iDBD и т.д.
∫
𝑑
4
x e
-ik⋅x
1
x²±i0
=-4π²
i
k²i0
,
∫
𝑑
4
x e
-ik⋅x
1
(x²±i0)²
=-π²i log(k²±i0)+ .
Одновременные коммутационные соотношения и коммутационные соотношения на световом конусе для фермионных операторов имеют вид
{q
i
α
(x),q
k
β
(x)}=0; δ(x
0
-y
0
){q
i
α
(x),
k
β
(y)
+
}=δ
αβ
δ
ik
δ(x-y),
{q
α
(x),
q
β
(0)}
≃
x²→0
(
∂
-im)
αβ
⎧
⎨
⎩
1
2π
ε(x
0
)δ(x
2
)
-
m
4π√x²
θ(x²)ε(x
2
)+…
⎫
⎬
⎭
.
Приложение Ж. Кинематика, сечения рассеяния и скорости распадов
Векторы состояния, описывающие частицу со спиральностью λ и импульсом p, нормированы следующим образом57):
57) При этом трансформационные свойства произвольного поля таковы: U(a)Φ(x)U-1(a)=Φ(x+a), U(a)=eiPa
⟨p',λ'|p,λ⟩=2p
0
δ
λλ
δ(p
⃗
-p
⃗
'),
P
μ
|p,λ⟩=p
μ
|p,λ⟩.
Это соответствует плотности частиц на единицу объема
ρ(p)=
2p0
(2π)3
.
Амплитуда рассеяния 𝓣 связана с S-матрицей соотношением
S=1+i𝓣, ⟨ƒ|𝓣|i⟩=δ(P
ƒ
-P
i
)F(i→ƒ).
В случае, когда в начальном состоянии присутствуют две частицы с массами m1 и m1, сечение рассеяния имеет вид
𝑑σ(i→ƒ)=
2π
2
λ
½
(s,m
2
1
,m
2
2
δ(P
ƒ
-P
i
)|F(i→ƒ)|²
𝑑
⃗
p
ƒ1
2p
0
ƒ1
…
𝑑
⃗
p
ƒn
2p
0
ƒn
где введены обозначения
λ(a,b,c)=a²+b²+c²-2ab-2ac-2bc, s=P
2
i
.
В случае p1+p2→p'1+p'2 приведенная выше формула принимает вид
𝑑σ(i→ƒ)
𝑑t
=
π
3
λ(s,m
2
1
,m
2
2
)
|F(i→ƒ)|²,
𝑑σ
𝑑Ω
⎪
⎪
⎪em
=
π²
4s
⋅
q'
q
|F(i-ƒ)|²,
σ(i-all)
=
[4π²/λ
½
(s,m
2
1
,m
2
2
)]Im F(i→i).
Здесь использованы обозначения
t=(p
2
-p'
2
)², q=|⃗p
1 em
|=
λ
½
(s,m
2
1
,m
2
2
)
2s
½
,
q'=|⃗p'
1 em
|=
λ
½
(s,m'
2
1
,m'
2
2
)
2s
½
,
Ω
em
≈(θ
em
,φ
em
), 𝑑
Ω
=𝑑cosθ𝑑φ
Аналогично скорость распада можно выразить в виде58)
58) Все формулы справедливы как дпя нетождественных, так и для тождественных частиц. Но при вычислении полных ширин полученное выражение необходимо разделить на число тождественных перестановок. Например, если мы интегрируем по импульсам j тождественных бозонов или фермионов, то полученное выражение нужно разделить на j!.
𝑑Γ(i→ƒ)=
1
4πm1
δ(P
i
-P
ƒ
)|F(i→ƒ)|²
𝑑⃗p
ƒ1
2p
0
ƒ1
…
𝑑⃗p
ƒn
2p
0
ƒn
, P
i
=
⎧
⎪
⎩
mi
⃗0
⎫
⎪
⎭
.
Всюду используются единицы, в которых ℏ=c=1. Приведем некоторые полезные формулы перехода к другим системам единиц:
1 МэВ-1=1,973⋅10-11см=6,582⋅10-22с.
1 ГэВ-2=0,3894 мбарн.
1 МэВ=1,783⋅10-27 г= 1,602⋅10-6эрг.
1 см=5,068⋅1010МэВ-1, 1 с — 1,519⋅1021 МэВ-1.
1 мбарн = 2,568 ГэВ-2.
1 г = 5,610⋅1026МэВ, 1 эрг = 6,242⋅105 МэВ.
Приложение 3. Функциональные производные
Функционал представляет собой отображение пространства достаточно гладких функций {f(x)} в пространстве комплексных чисел:
F:ƒ→F[ƒ].
