Завершим этот параграф двумя замечаниями. Во-первых, мы получили ограничения на спектр операторов K± и выражение для вакуума в терминах собственных векторов этих операторов |n± , но мы не доказали, что спектр этих операторов нетривиален. Действительно, можно представить себе, что все собственные значения n совпадают между собой; тогда о содержании этого параграфа можно сказать: "много шума из ничего". К счастью (или к сожалению , в зависимости от точки зрения), наличие инстантонов свидетельствует о существовании по крайней мере бесконечного счетного множества …, —1, 0, 1, 2, … различных значений параметра n. Это будет показано в §45.
Во-вторых, мы предположили, что безмассовые U(1)-бозоны не существуют. Массы псевдоскалярных мезонов можно оценить так же, как это сделано в § 31. Если повторить вычисления для синглетного тока Aμ0, то получим, что вследствие аномалии уравнение (31.5) приобретет дополнительный член
n
2
ƒ
⎧
⎩
g²
32π²
⎫²
⎭
∫
𝑑
4
x
⟨TG(x)G
̃
(x)G(0)G
̃
(0)⟩
vac
.
(38.15)
Если рассматривать вакуум теории возмущений, то этот член обращается в нуль, однако, как будет показано в § 43 - 45, наличие инстантонных решений, по крайней мере в квазиклассическом приближении, приводит в киральном пределе к ненулевому значению выражения (38.15) [252]. Можно поставить вопрос о справедливости такого приближения. С другой стороны, тот же результат получается в пределе больших чисел цветов [273]. Таким образом, хотя абсолютно строгого доказательства нет, но кажется чрезвычайно вероятным, что квантовая хромодинамика решает проблему U(1).
Глава V ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ; РЕШЕНИЯ, НЕ ОПИСЫВАЕМЫЕ ТЕОРИЕЙ ВОЗМУЩЕНИЙ
§ 39. Формулировка теории поля на языке интегралов по траекториям
До сих пор мы рассматривали главным образом те аспекты квантовой хромодинамики, которые описываются теорией возмущений. При этом вопрос о том, использовать ли каноническую формулировку теории поля или формулировку, основанную на применении интегралов по траекториям, является в значительной мере делом вкуса. Однако при рассмотрении аспектов КХД, не описываемых теорией возмущений, большей ясности можно достигнуть, используя язык функциональных интегралов. В этом параграфе мы рассмотрим кратко формализм фейнмановских интегралов по траекториям, в частности в применении к теории поля. Конечно, это не может заменить подробного изложения метода функциональных интегралов, которое заинтересованный читатель может найти в лекциях [112, 139] или в учебниках [114, 172, 283].
Начнем с рассмотрения нерелятивистской квантовой механики в одномерном пространстве [121]. Имеется гамильтониан Ĥ, являющийся функцией обобщенных импульсов P̂ и координат Q̂. Предполагается, что гамильтониан записан в "нормальной форме", т.е. все операторы импульса P̂ расположены левее всех операторов координат Q̂. Классический гамильтониан Ĥ можно получить из соотношения
⟨p|Ĥ|q⟩
=
e-ipq
√2π
H(p,q),
(39.1)
Где состояния |p⟩ и |q⟩ удовлетворяют условиям P̂|p⟩=p|p⟩, Q̂|q⟩=q|q⟩, ⟨p|q⟩-ipq/√2π. Оценим матричные элементы оператора эволюции
⟨q''|e
-i(t''-t')Ĥ
|q'⟩.
(39.2)
Для этого запишем разложение оператора эволюции в ряд
e
-itĤ
=
lim
N→∞
⎧
⎪
⎩
1-
it
N
Ĥ
⎫N
⎪
⎭
, t=t''-t',
и вставим суммы по полным наборам векторов состояний
⟨q''|e
-i(t''-t')Ĥ
|q'⟩
=
lim
N→∞
∫
∏
𝑑pn
2π
∏
𝑑qn
2π
⟨q''|p
N
⟩
⟨p
N
|1-
it
N
Ĥ|q
N
⟩
×
⟨q
N
|p
N-1
⟩
⟨p
N-1
|1-
it
N
Ĥ|q
N-1
⟩…
⟨p
N
|1-
it
N
Ĥ|q'⟩.
Используя соотношение (39.1), получим
⟨p
n
|1-
it
N
Ĥ|q
n
⟩=
exp{-ipnqn-(it/N)H(pn,qn)}
√2π
+O
⎧
⎩
1
N²
⎫
⎭
,
так что окончательный результат имеет вид
⟨q''|e
-i(t''-t')Ĥ
|q'⟩
=
lim
N
∫
∏
𝑑pn
2π
∏
𝑑q
n
×
exp i
⎧
⎨
⎩
p
N
(q
''
N
-q
N
)+…+p
1
(q
1
-q')
-
t
N
(H(p
N
,q
N
)…H(p
1
,q'))
⎫
⎬
⎭
(39.3)
Использованный Фейнманом прием заключается во введении в рассмотрение двух функций p(t) и q(t), определяемых условиями p(tn)=pn и q(tn)=qn . Используя эти функции, можно перейти от интегралов по дискретным переменным к интегралам по непрерывным распределениям:
∏
n
𝑑pn
2π
→
∏
t
𝑑p(t)
2π
,
∏
n
𝑑qn
2π
→
∏
t
𝑑q(t)
2π
,
(39.4)
т.е. теперь интегрирование производится по всем функциям, а член в скобках в (39.3) принимает вид
∫
t''
t'
𝑑t
{p(t)q̇(t)-H(p(t),q(t))}, ƒ̇≡
𝑑ƒ
𝑑t
.
Тогда полное выражение (39.3) имеет вид
⟨q''|e
-itĤ
|q⟩
=
∫
∏
t
𝑑q(t)𝑑p(t)
2π
exp i
∫
t'',q''
t',q'
